¿Cuándo $\wp$ tomar valores reales?

Question

Whittaker y Watson mencionar que cuando los invariantes $g_2, g_3$ de Weierstrass $\wp$ función son reales y tal que $g_2^3 - 27g_3^2 > 0$, y si $2\omega_1$ $2\omega_2$ son de sus períodos, a continuación, la función toma valores reales en el perímetro del paralelogramo con vértices $0,\omega_1,-\omega_2,-\omega_1-\omega_2$.

Yo no soy capaz de entender por qué $\wp$ toma valores reales. Alguien puede ayudarme?

Answer 1

Tarde la respuesta, pero aquí es por qué.

Si $g_2, g_3 \in \mathbb{R}$ $g_2^3-27g_3^2>0$ que se ve que la mitad de los períodos son de la forma$\omega_1=\alpha$$\omega_2=i \beta$$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$.

Esto, en esencia, hace el truco, ya que es fácilmente visto por un cálculo directo que si $\wp(z)=\wp(z|\alpha, i \beta)$ \begin{equation} \overline{\wp(z)}=\wp\left(\overline{z}\right) \tag{1} \end{equation} Ahora tome $z \in \{ iy, \ \alpha+iy, \ x, \ x+i \beta : x,y \in \mathbb{R}\}$.

i): Si $z=iy$$y \in \mathbb{R}$, por (1) se deduce que $\overline{\wp(z)}=\overline{\wp(iy)}=\wp\left(\overline{iy}\right)=\wp(-iy)$, pero desde $\wp$ es incluso, a continuación,$\wp(-iy)= \wp(iy)$, con lo que, de hecho, $$ \overline{\wp(z)}=\wp(iy)=\wp(z), \ \text{por lo tanto} \ \wp(z) \in \mathbb{R} $$ ii): Si $z=\alpha + iy$$y \in \mathbb{R}$, de nuevo por (1), $\overline{\wp(z)}=\overline{\wp(\alpha+iy)}=\wp\left(\overline{\alpha + iy}\right)=\wp(\alpha-iy)$, pero $2\alpha$ es un período de $\wp$, lo que da $\wp(\alpha-iy)= \wp(\alpha-iy-2\alpha)=\wp(-(\alpha+iy))$, siendo de nuevo $\wp$ incluso tenemos $\wp(-(\alpha+iy))=\wp(\alpha+iy)$, por lo tanto $$ \overline{\wp(z)}=\wp(\alpha+iy)=\wp(z), \ \text{por lo tanto } \ \wp(z) \in \mathbb{R} $$ iii): Si $z=x$$x \in \mathbb{R}$, (1) le da a ese $\overline{\wp(z)}=\overline{\wp(x)}=\wp(\overline{x})=\wp(x)=\wp(z)$, luego de curso $\wp(z) \in \mathbb{R}$

iv): Finalmente, cuando el $z=x + i\beta$$x \in \mathbb{R}$, por (1), $\overline{\wp(z)}=\overline{\wp(x+i\beta)}=\wp\left(\overline{x + i\beta}\right)=\wp(x-i\beta)$, desde $2i\beta$ es un período de $\wp$$\wp(x-i\beta)= \wp(x-i\beta+2i\beta)=\wp(x+i\beta)$, por lo tanto de nuevo $$ \overline{\wp(z)}=\wp(x+i\beta)=\wp(z), \ \text{por lo tanto } \ \wp(z) \in \mathbb{R} $$

Por lo tanto, de hecho, $\wp$ toma valores reales en todos los paralelogramos generados por la mitad de los períodos de $\omega_1$$\omega_2$, como quería.