Demostrar que para cualquier primo $p$ , $q$ , $p\neq q$ el anillo $\mathbb{Z}_{pq}$ (el anillo de los números enteros módulo pq) es semimple, y para $p=q$ el mismo anillo no es semisimple.
Me han dicho que lo más fácil es observar que tiene dimensión global 1, por lo que es heredable, no semisimple. Pero no sé cómo demostrar esto.
Seguro que no es complicado, pero se me escapa. Gracias de antemano por cualquier respuesta útil.
Aquí, siempre estaré asumiendo $n>1$
El anillo $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ es semisimple exactamente cuando $n$ es libre de cuadrados. La forma fácil de ver esto es que los ideales generados por los primos son máximos y tienen intersecciones triviales por pares, y por lo tanto el teorema chino del resto dice que el anillo es un producto finito de campos.
Si, por el contrario, $n$ no es libre de cuadrados, (digamos $p^2$ lo divide), entonces $\frac{n}{p}\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ es un ideal nilpotente no nulo, por lo que el anillo no es semisimple.
El anillo $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ es local si $n$ es una potencia de un primo.
El anillo $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ es siempre cuasi-Frobenius.
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