La corriente eléctrica $j^{\mu}$ en el estándar de la QED vs escalar QED

Question

La expresión para el 4-actual $j^{\mu}$ en el estándar de la QED es $$ e\bar{\Psi}\gamma^\mu\Psi $$ y $$ \frac{e}{2 i}(\psi^\dagger D^\mu \psi - (D^\mu \psi)^\dagger \psi) $$ escalar QED. Entiendo que el segundo, porque en $k$-espacio se muestra explícitamente una transferencia de momentum, y contiene una parte proporcional a $A^\mu$, lo que estoy acostumbrado. Así que mi primera pregunta es :

1. Por qué estas dos corrientes son fundamentalmente diferentes y no parecen representar la misma cosa? (por ejemplo, por qué el segundo depende del medidor de potencial y no el primero ?)

En general, el (eléctrica) la corriente se define como la Noether corriente correspondiente (global) medidor de la invariancia de un dado de Lagrange. Para mí, la corriente en el otro lado debe ser proporcional a la velocidad que de alguna manera se fija en el formalismo de Lagrange. Así que la corriente debe tener un lugar de forma fija. Mi segunda pregunta es:

2. Por qué no es éste el caso? (o por qué el actual no debe ser proporcional a la velocidad?)

Answer 1

Creo que traer a colación una pregunta interesante, no estoy seguro de por qué hubo algunos comentarios despectivos a este...

En primer lugar, la fermionic actual no tiene pareja para el medidor de campo debido a su dimensión. El campo de Dirac es la dimensión de $ 3/2 $ y la actual es la dimensión de $ 3 $. Por lo tanto, el acoplamiento de la fermión para el medidor de campos es de orden superior. Por otro lado, el campo escalar es sólo la dimensión de $ 1 $ y, a la par medidor de campo.

No sé, por una razón intuitiva de por qué este es el caso (o por qué el campo de Dirac es la dimensión de $ 3/2 $, para empezar), pero su equivalente a la pregunta de por qué un acusado escalar campo tiene una interacción con dos medidor de campos y el fermión no.

Para ver cómo la velocidad es incorporado en la Dirac actual nos tiene que desdoblar algunas anotaciones. El campo de Dirac puede ser ampliado en su momento modos: \begin{equation} \psi = \sum _s \int \frac{ d^3p }{ (2\pi)^3 } \frac{1}{\sqrt{2E_p}}u ^s ( p ) e ^{ i {\mathbf{p}} \cdot {\mathbf{x}} } \end{equation} donde $ u ( p ) $ es un impulso dependiente de spinor que se deriva en cualquier QFT libro de texto y dado por, \begin{equation} u ^s ( p ) = \left( \begin{array}{c} \sqrt{ p \cdot \sigma } \xi \\ \sqrt{ p \cdot \bar{\sigma} \xi } \end{array} \right) \end{equation} y una expresión similar para el segundo conjunto de soluciones, $ v ^s $.

Con estas expresiones, la transformada de Fourier de la corriente está dada por, \begin{equation} \vec{ \tilde{ j}} = \frac{1}{2E_p}\bar{u} \vec{ \gamma } u \end{equation}

Aquí estamos trabajando en la clásica teoría de campo. En general, el campo está hecho de una combinación lineal de todas las posibles soluciones, $ u ^{ \pm } _{\mathbf{p}} , v ^{ \pm } _{\mathbf{p}} $. Por simplicidad se asume que el campo se compone principalmente de la $ u ^+ _{\mathbf{p}} $ componente. Es importante tener en cuenta que aquí en el campo no representa una partícula, sino simplemente la solución a la ecuación de Dirac.

Entonces podemos escribir las soluciones en energías bajas, por \begin{equation} u ( p ) \approx \underbrace{ \sqrt{ 2 m } \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)} _{ u _0 } + \frac{1}{ 2 \sqrt{ m}} \left( \begin{array}{c} - p _z \\ - p _x - i p _y \\ p _z \\ p _x + i p _y \end{array} \right) \end{equation} La primera parte es la solución estática y la segunda pieza es dependiente de la velocidad. Si tu intuición es correcta que las corrientes debe depender de la velocidad, entonces esperaríamos que la pura estática contribución a desaparecer. Este es de hecho el caso, \begin{align} \vec{ \tilde{ j}} _0 & = \frac{1}{2E_p}\bar{u} {\vec \gamma} u \\ & = \frac{1}{2E_p}\bar{u} {\vec \gamma} u\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} - {\vec \sigma} & 0 \\ 0 & {\vec \sigma} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) \\ Y= 0 \end{align} donde hemos utilizado $E_p \approx m $ (y ello a continuación).

Ya que esta se desvanece necesitamos para mantener los términos de primer orden en el momenta. El orden más bajo de contribución es,\begin{align} \vec{\tilde{j}}_1 & = \frac{1}{ 2\sqrt{2}m } \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} - {\vec \sigma} & 0 \\ 0 & {\vec \sigma} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} - p _z \\ - p _x - i p _y \\ p _z \\ p _x + i p _y \end{array} \right) + h.c. \\ & =\frac{1}{2\sqrt{2}m} \left( \begin{array}{cc}1 & 0\end{array} \right) \vec{ \sigma } \left( \begin{array}{c} p _z \\ p _x + i p _y \end{array} \right) +h.c. \end{align} Vemos que el actual es, de hecho, proporcional a la momenta como sería de esperar.

En particular, si $ p _x = p _y = 0 $ a continuación, \begin{equation} \tilde{j} _x = \tilde{j} _y = 0 , \tilde{j} _z = \frac{1}{\sqrt{2}} e v \end{equation} donde hemos utilizado $p/m = v $. No puedo justificar el factor de $ \sqrt{2} $ pero todo lo demás parece estar en orden (sospecho que este factor es debido a la mala elección de la normalización de los campos).

Answer 2

A partir de la de Maxwell-Lagrangiano de Dirac $$ \mathcal L = -\frac{1}{2}F^2 + \overline{\psi} i\gamma^\mu D_\mu +m) \psi $$ donde $D_\mu$ es la medida derivada covariante es claro que el 4 de corriente que actúa como el origen del término en las ecuaciones de Maxwell es de $$ j^\mu_D = q\overline{\psi} \gamma^\mu \psi. $$ Utilizando la ecuación de Dirac se puede demostrar que (ver, por ejemplo, Sakurai, ha Avanzado la Mecánica Cuántica (1967), la Sección 3.5) $$ j^\mu_D = j^\mu_1 + j^\mu_2 = \frac{ci}{2m}(\overline \psi D^\mu \psi - (D^\mu\overline\psi)\psi) - \frac{q}{2m}\partial_\mu (\overline{\psi}\sigma^{\mu\nu} \psi) $$ donde $\sigma^{\mu\nu}$ es el girar el tensor. $j_2^\mu$ es claramente conservadas (divergenceles) desde $\sigma^{\mu\nu}$ es antisimétrica. Por lo tanto, $j_1^\mu$ también se conserva, ya que la suma de $j_D^\mu$ es.

El actual $j_1^\mu$ es de la misma forma que lo que uno encuentra por la de Klein-Gordon campo, y es proporcional a la probabilidad actual de la Dirac campo, $\partial_\mu (\overline\psi\psi)$. Por tomar un avión solución de onda puede convencerse de que el componente de tiempo es la amplitud al cuadrado, y el espacial parte es proporcional a la amplitud de veces el impulso 3-vector. $j^i_1$ debe ser el libre actual.

El actual $j_2^\mu$ por otro lado surge enteramente de la Dirac campo que no-cero vuelta. Su presencia significa que en las ecuaciones de Maxwell vamos a tener como fuentes no sólo algo así como los tiempos de carga de la densidad y el flujo de partículas-la carga libre y actual ... pero la divergencia de un anti-simétrica del tensor. ¿Suena familiar? Tal vez no, pero si me llaman de este tensor $D^{\mu\nu}$ y definir dos 3-vectores $P^i = D^{0i}$ $M^i = e^{ijk}M_{jk}$ el sistema de ecuaciones en 3-formulario de vector es \begin{align*} \nabla\cdot \mathbf E & = \rho - \nabla\cdot\mathbf P\\ \nabla\times \mathbf B & = \mathbf j + \nabla\times \mathbf M + \frac{\partial \mathbf P}{\partial t} + \frac{\partial \mathbf E}{\partial t} \end{align*} ¿Qué es $j_2^\mu$? Evidentemente es la envolvente de carga y corriente!

Usted puede ver que esto es razonable considerando una solución de onda plana en su marco del resto. A continuación, puede trabajar que a $\overline\psi \sigma^{ij} \psi = \epsilon^{ijk}s_k$ donde $s_k$ es el spin 3-vector. Así, en la ley de Ampére aparecerá un término proporcional a $$\partial_i \epsilon^{ijk} s_k= -\nabla\times \mathbf s.$$ Claramente $j_2^i$ es de hecho la curvatura de la magnetización de la densidad.