Problema de ruina del jugador modificado: dejar de jugar cuando se va a la quiebra o se pierde $k$ dólares en todo

Question

En cada ronda, el jugador gana y obtiene 1 dólar, o pierde 1 dólar. La probabilidad de ganar en cada ronda es $p<1/2$ . El jugador tiene inicialmente $a$ dólares. Abandona el juego cuando no tiene dinero, o ha perdido $k>a$ rondas en total para este momento, sin importar cuántas rondas gane. (Por ejemplo, si $a=2$ , $k=3$ y la secuencia es +1,+1,+1,-1,+1,-1,-1, ahora lo deja). ¿Cuál es su tiempo de salida esperado?

Lo que me confunde es la dependencia entre estos dos eventos. Conozco la función generadora del tiempo de salida en el problema estándar de la ruina del jugador, y la duración hasta que el jugador pierde $k$ dólares en total es una variable aleatoria binomial negativa. Pero estos dos tiempos de parada son dependientes. Me preguntaba si alguien podría darme alguna pista. Muchas gracias.

Actualización: De la pista de Ross Millikan: cómo calcular la probabilidad de que la riqueza sea $b$ al final de la ronda $2k-a$ ¿aún no se ha terminado el juego?

Answer 1

Por la pérdida de $k$ para entrar en acción, necesita ganar $k-a$ veces. Si hace eso, nunca se arruinará (excepto quizás en la ronda que dejaría por la $k$ pérdidas). Necesita ganar esos $k-a$ dentro de la primera $2k-a$ juegos. Así que calcula la posibilidad de que se arruine en menos de $2k-a$ juegos y la duración esperada de un juego en ese escenario. Esto le da la posibilidad de que invoque la $k$ pérdidas. Ahora calcule la duración esperada de un juego dado que gana al menos $k-a$ en la primera $2k-a$