Construir un ejemplo de una función con período 1 que no es una función trig y es diferenciable en cada punto.

Question

Esta pregunta sacó a mí como particularmente difícil. Lo encontró en una introducción al libro de texto de cálculo. ¡Cualquier idea sería genial! (piece-wise son aceptables, pero tenga en cuenta la cláusula de differentiability).

Answer 1

función con período 1 que no es una función trig

Cualquier función periódica suficientemente razonable es la suma de su serie de Fourier, lo que es una especie de función trigonométrica.

Answer 2

Si sólo necesita una vez diferenciable, entonces uno puede utilizar la $f(x) = x^2(1-x)^2$ $0\le x\le 1$ y, a continuación, extender por la periodicidad de los números no se entre $0$$1$. En otras palabras, primero vamos a $$ g(x) = \begin{cases} x^2(1-x)^2 & \text{if }0\le x\le 1, \\[6pt] 0 & \text{otherwise}, \end{casos} $$ y, a continuación, vamos a $$ f(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty g(x-n). $$ Para cada valor de $x$, sólo un término de la suma no es $0$, por lo que la convergencia no es ningún problema.

Para hacerlo más-que-una vez diferenciable, ¿qué tal esto: $$ \sum_{n=-\infty}^\infty \exp(-(x-n)^2). $$ A continuación, el trabajo en demostrar que la serie converge y la suma es diferenciable.

Answer 3

Basado en la parte fraccionaria de un número real, definir la siguiente función odd: $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ periodo $1$:

$$f(x)=\begin{cases} 1-\left(4\{x\}-1\right)^2,& 0\le\{x\}<0.5 \\ -1+\left(4\{x\}-3\right)^2,& 0.5\le\{x\}<1 \\ \end{casos}$$

Aquí es un gráfico de la función:

Ahora si $\{x\}<0.5$$\{-x\}=1-x<0.5$$f(x)=1-\left(4\{x\}-1\right)^2$, mientras que $f(-x)=-1+\left(4\{-x\}-3\right)^2=-1+\left(4(1-\{x\})-3\right)^2=-1+\left(1-4\{x\}\right)^2=-f(x)$. Así que por simetría, $f(-x)=f(x)$$\{x\}>0.5$. Para ${x}=0.5$ ha $f(x)=-1+\left(4\times0.5-3\right)^2=0$.

También $$\lim_{\{x\}\to0^+}{f(x)}=0$$ y $$\lim_{\{x\}\to1^-}{f(x)}=0$$ Por lo $f$ es una extraña continua, la función que tiene el período de $1$.
Desde $x\mapsto 1-(4x-1)^2$ es diferenciable en a $(0,\frac{1}{2})$ $x\mapsto -1+(4x-3)^2$ es diferenciable en a $(\frac{1}{2},1)$ y es bastante sencillo para mostrar que la cara de derivados de acuerdo al $\{x\}=\frac{1}{2}$ e al $x$ es en el nbhd de un entero, por lo $f$ es diferenciable en a $(-\infty,\infty)$.

Answer 4

Vamos a por algo que está por trozos continuas.

Así que necesitamos $f(0)=f(1)$ y $f'(0)=f'(1)$

Una función lineal no funciona (bueno, lo hará, pero trivial) y una función cuadrática se fallan en la restricción degradada, así que trate de un cúbico.

Que $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$.

Por simplicidad $d=0$.

$f(1)=f(0)=0 \Rightarrow a+b+c=0$.

$f'(x)=3ax^2+2bx+c$

$f'(0)=f'(1) \Rightarrow c=3a+2b+c \Rightarrow 3a+2b=0 \Rightarrow b=- \frac {3a}2$.

Sustituir en $a+b+c=0$ a $a - \frac {3a}2+c=0 \Rightarrow c=\frac {a}2$.

Podemos escalar para evitar fracciones para dar $f(x)=2x^3-3x^2+x$ $0 \le x \le 1 $ and $f(x+1) = f (x) $ for all other values of $x$.

Answer 5

Inicio de la función $x^4-x^2$. Tiene dos simétrica mínimos alrededor de la $0$. $(x^4-x^2)'=4x^3-2x=0\Leftrightarrow x=0$ o $x=\pm \frac{\sqrt 2}{2}$. En este mínimos de la derivada es cero, por lo que usted puede conectar las paces entre los mínimos problemas. Pero para hacerlo con un período de $1$ debe escala horizontal: desea que la distancia entre los mínimos a ser $1$. Esto significa que la escala $\epsilon>0:$ $g(x)=(\frac{x}{\epsilon})^4-(\frac{x}{\epsilon})^2$. Ahora el extremums están en $g'(x)=0\Leftrightarrow$ $x=0$ o $x=\pm \frac{\epsilon}{\sqrt 2}$. Por un período de uno queremos $\frac{\epsilon}{\sqrt 2}-(-\frac{\epsilon}{\sqrt 2})=1\Leftrightarrow \epsilon=\frac{\sqrt 2}{2}$.

Por último, la función periódica es $f(x)=g(x-n),$ $x\in [n-1/2,n+1/2],\,n=\pm1,\pm2,\pm3,....$ donde $g(x)=4x^4-2x^2$ (plug in $\epsilon=\frac{\sqrt 2}{2}$)