¿Puede alguien darme una explicación visual de lo siguiente?
Si existen enteros $x, y$ tal que $x^2 + y^2 = c$ entonces también existen enteros $w, z$ tal que $w^2 + z^2 = 2c$
Sé por qué es cierto (por ejemplo, tomar $w = x-y, z = x+y$ ), pero creo que hay una explicación visual escondida en alguna parte debido a los términos cuadrados (¡podemos hacer cuadrados!)
Me llevará una eternidad publicar el diagrama, así que aquí hay una descripción.
Dibuja el círculo con centro $(0,0)$ y el radio $\sqrt c\,$ . Localizar el punto $(x,y)$ en este círculo: por suposición, $x$ y $y$ son números enteros. Dibuja la tangente a esta circunferencia a partir de $(x,y)$ y que tiene una longitud $\sqrt c\,$ . Esto dará un punto distante $\sqrt{2c}$ desde el origen (porque tenemos un triángulo isósceles en ángulo recto), y el punto tendrá coordenadas enteras porque se obtiene de $(x,y)$ por un desplazamiento de $(y,-x)$ o $(-y,x)$ dependiendo de la dirección en la que trazamos la tangente.
Actualización : ver otra respuesta para la imagen. ¡Gracias Oleg!
Sugerencia $\ $ La transformación es simplemente multiplicación por $\, 1+i\,$ en el plano complejo
$$(1+i)(x+yi)\, =\, x\!-\!y + (x\!+\!y)i $$
Por lo tanto, si $\ |x+yi| = x^2+y^2 = c \ $ entonces
$$ (x\!-\!y)^2+(x\!+\!y)^2 =\, |x\!-\!y+(x\!+\!y)i| = |(1+i)(x+yi)|\, =\, 2\,|x+yi|\,=\,2c$$
Geométricamente, la multiplicación por $\ 1+i = \sqrt{2}\, e^{\large i\pi/4}\,$ puede visualizarse como una expansión por el factor $\,\sqrt{2}\,$ compuesto con una rotación por $\,\pi/4.\,$ Visualicemos esto en el diagrama de la respuesta de Oleg567, extraído a continuación. Dejemos que $\,\rm\color{#c00}{v = x+y\, i}\,$ sea el vector rojo inferior. Multiplicándolo por $\,1+i\,$ rinde $\, (1+i){\rm v = v} + i\rm v,\,$ donde $\,\rm\color{#c00}{i\,v = -y + x\, i}\,$ es la rotación de $\,\rm v\,$ por $\,\pi/4.\,$ Sumando estos vectores rojos se obtiene el resultado $\,\rm\color{blue}{v + i\, v = x-y + (x+y)\,i}.$
$\qquad\quad$ 
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
