$x^2$ modulo un primer

Question

Demostrar que $x^2$ modulo un % prime $p>2$toma exactamente $\dfrac{p+1}{2}$ valores diferentes.

Pensé en decir primero los residuos modulo $p$ se pueden escribir como sigue: $$0,1,\ldots,\frac{p+1}{2}-1,-\left(\frac{p+1}{2}-1\right),\ldots,-1.$$ Thus if it weren't the case that $x^2$ took on exactly $\dfrac{p+1}{2}$ different values modulo $p$, then there would exist $x_1 \neq x_2 $ such that $ x_1, x_2 \leq \frac{p-1}{2}$ and $x_1^2 \equiv x_2 ^ 2 \pmod{p}$.

¿Cómo demostrar una contradicción aquí?

Answer 1

Usted puede utilizar lo siguiente:

Definir $\varphi\colon (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times\rightarrow (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$ $\varphi(x)=x^2$. Es un homomorfismo y así está de acuerdo con el primer teorema de isomorfismo, para encontrar el cardinaluty de $\ker \varphi$ le dará la solución sin $0$.

Cuáles son los elementos de satisfacción $x^2=1$. $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ es realmente un campo y así $x^2=1$ tiene soluciones a más de 2. Sabemos que + 1 y -1 son soluciones por lo que son las soluciones onlt.

Así $|Im(\varphi) |=\frac{p-1}{2}$ y la adición de 0 de nuevo desde $0^2=0$ te haz $\frac{p+1}{2}$ elementos

Answer 2

$x_1^2 \equiv x_2^2 \bmod{p}$ implica divide a que $p$ $x_1-x_2$ o $x_1+x_2$.

Desde $x_1+x_2 < p$, debemos tener $x_1=-x_2$, que contradice $x_1,x_2 \ge 0$.

Desde $|x_1-x_2|\le x_1+x_2 < p$, debemos tener $x_1=x_2$, que contradice $x_1 \ne x_2$.

Answer 3

Poner todo en un lado y el factor para obtener el equivalente a $(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) \equiv 0 \pmod{p}$. Desde $p$ es primo, esto implica $(x_1 - x_2) \equiv 0 \pmod{p}$ o $(x_1 + x_2) \equiv 0 \pmod{p}$.

Sin embargo, ambas son imposibles bajo sus supuestos.

Sin embargo, tenga en cuenta que esto sólo muestra que no puede haber menos de $(p+1)/2$ valores. Para mostrar que hay exactamente $(p+1)/2$ proceda de arriba para observar que la única manera de que los cuadros pueden ser iguales para distintos $x_1,x_2$ $0\le x_1,x_2 \le p-1$ $x_1 + x_2 = p$ que es para cada uno distinto de cero $x_1$ no es exactamente una $x_2$ tener la misma plaza.