Mapa de un espacio normado para su doble dual.

Question

Que $X$ ser un espacio normado. Definir dejó la función $J:X \rightarrow X'' $ %#% $ #%

donde $$J(x)(x')=x'(x)\ \forall\ x'\in X' $f $X''=\{f:X'\rightarrow\mathbb{C} \mid \hbox{$ $ is bounded linear} \}$ es el doble de $X'$.

¿$X$ Es inyectiva?

Trataba de esto,

Supongamos que tenemos $J$ tal que debemos $x,y\in X $ $ $$J(x)=J(y)$ $ $$\Rightarrow J(x)(x')=J(y)(x') $ $ $$\Rightarrow x'(x)=x'(y)$ $ pero para obtener $$\Rightarrow x'(x-y)=0$ $x=y $ a ser inyectiva. Estoy atrapado aquí. ¿Esta es la forma correcta de hacerlo?

Answer 1

Por favor preste atención: usted termina con la declaración

$x'(x-y)=0$ % todos $x' \in X'$.

Esto implica $x-y=0$, como un corolario del teorema de Hahn-Banach.

Answer 2

El % de asignación $J$definido como el anterior es siempre inyectivo. Y es en si el % de espacio $X$es reflexivo (esto es la definición de espacio de Banach reflexivo realmente). De $x'(x-y)=0\Rightarrow x=y$ es porque el espacio dual es un sistema total y sigue del teorema de Hahn-Banach.

El corolario es:

Si $x\in X\,\,$ y $x'(x)=0,\quad\forall x'\in X'$ y $x=0$