Jacobiano o no jacobiano - Integrales de superficie

Question

He leído http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=310220 y http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=458840 pero sigo teniendo dudas sobre si necesitamos el jacobiano o no para calcular integrales de superficie. Los siguientes ejemplos son de P1091 y 1092 en la Sección 16.7 de Cálculo 6ª edición, por James Stewart. ¿Por qué hay un Jacobiano para #23 $\color{red}{\text{in red}}$ ¿pero NO para #15 y #47?

$\Large{\text{15.}}$ Evalúa la integral de superficie:
$\iint_Sz(x^2 + y^2) dS $ donde $S$ es el hemisferio $x^2 + y^2 + z^2 = 4, z \geq 0$ .

$\Large{\text{23.}}$ Evaluar la integral de superficie $\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S},$ donde $\mathbf{F} = (x,-z,y)$ y $S$ es la parte de $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ en el primer octante y orientado hacia el origen. Recuerda utilizar la orientación positiva (hacia fuera).

$\Large{\text{47.}}$ Sea $\mathbf{F(r)}$ = $\cfrac{c\mathbf{r}}{{\vert \mathbf{r} \vert}^3} $ para alguna constante $c$ y $\mathbf{r} = (x,y,z) $ y $S$ sea una esfera con centro en el origen. Demostrar que el flujo de $F$ a través de $S$ es independiente del radio de $S$ .

Soluciones dadas:

$\Large{\text{15.}}$ Parametrizar con coordenadas esféricas : $x = \color{green}{2}\cos\theta\sin\phi, y = \color{green}{2}\sin\theta\sin\phi, z = \color{green}{2}\cos\phi.$ T $\iint_Sz(x^2 + y^2) dS = \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2}[4\sin^2\phi2cos\phi] \underbrace{(4\sin\phi)}_{\vert \partial_{\phi} \mathbf{r} \times \partial_{\theta} \mathbf{r} \vert} \require{enclose} \enclose{horizontalstrike}{(p \color{green}{= 2})^2\sin\phi} dA $ .

$\Large{\text{23.}} $ $\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iint \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat{n}} dS = \iint_{x^2 + y^2 \leq 4} \dfrac{-x}{\sqrt{4 - x^2 - y^2}} dA = \int_0^{\pi/2}\int_0^{2} \dfrac{-(r\cos\theta)^2}{\sqrt{4 - r^2}} \color{red}{(r dr d\theta)}. $

$\Large{\text{47.}}$ Sea el radio de la esfera $:= \vert \mathbf{r} \vert := k$ . Parametrizar con coordenadas esféricas : $x = \color{brown}{k}\cos\theta\sin\phi\, y = \color{brown}{k}\sin\theta\sin\phi, z = \color{brown}{k}\cos\phi.$

Entonces $\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iint_D \mathbf{F[r}(\phi, \theta)] \cdot (\partial_{\phi} \mathbf{r} \times \partial_{\theta} \mathbf{r}) dA $ $ = \int_0^{\pi}\int_0^{2\pi} \frac{c}{k^3}(k\cos\theta\sin\phi\, k\sin\theta\sin\phi, k\cos\phi) \cdot (k^2\cos\theta\sin^2\phi, k^2\sin\theta\sin\phi, k\sin\phi\cos\phi) \require{enclose} \enclose{horizontalstrike}{(p\color{brown}{= k})^2\sin\phi}d\theta d\phi$

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$\Large{\text{Supplementaries in response to Muphrid's answer:}}$

$\Large{\text{Q1.}}$ En su primer párrafo, escribió que si $\mathbf{r}(x,y)$ entonces $\partial_x \mathbf{r} = \mathbf{\hat{x}} $ y $\partial_y \mathbf{r} = \mathbf{\hat{y}} $ . ¿Por qué es cierto?

Por ejemplo, si $\mathbf{r}(x,y) = (x, y, z(x,y))$ entonces $\partial_x \mathbf{r} = (1, 0, \partial_xz) $ y $\partial_y \mathbf{r} = (1, 0, \partial_yz) $ ?

$\Large{\text{Q2.}}$ En tu sexto párrafo, escribiste: "Aquí, aún no tenemos el vector del elemento área expresado en un sistema de coordenadas, por lo que no tiene sentido usar (digamos) el cartesiano y luego impulsarlo con el jacobiano."
En tu último párrafo, escribiste: "Las soluciones aquí omiten el Jacobiano..."

Sin embargo, ¿se refiere sólo a los números 15 y 47? Gracias a ti, ahora entiendo que #15 y #47 empiezan y siguen trabajando con coordenadas esféricas.

Pero en #23, entiendo que la solución comienza con $(x, y, z(x,y))$ . A continuación, utiliza el jacobiano ( $r dr d\theta$ ) al convertir a coordenadas polares. La #23 es la única pregunta en la que se utiliza la jacobiana (y no en la #15 ni en la #47).

$\Large{\text{Q3.}}$ En tu tercer párrafo, comentas "por qué esta integral está redactada en términos de $r$ en absoluto". Deduzco que no estás de acuerdo con la elección de la solución de comenzar con $(x, y, z(x,y))$ ? ¿Usted (y yo) cree que sólo deben utilizarse coordenadas esféricas todo el tiempo por comodidad?

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$\Large{\text{Supplementary in response to Muphrid's 2nd answer:}}$

$\Large{\text{Q2.1}}$ Muchas gracias por su segunda respuesta. Usted escribió en su segunda respuesta, para el problema #23: "...Pero debo enfatizar que eso, en sí mismo, es no utilizando la matriz jacobiana, porque la matriz jacobiana debe actuar sobre algún vector, convirtiéndolo de un sistema de coordenadas a otro. Como no se escriben las componentes cartesianas de $\hat{\mathbf n}$ no parece a mí que lo utilicen realmente".

¿Cómo la solución para #23 NO utiliza el $\color{magenta}{\text{Jacobian}}$ ? La solución empieza por $(x, y, z(x,y))$ y luego convertir a coordenadas polares. $\Longrightarrow \iint_R f(x,y, z(x,y)) dA = \iint_D f(r\cos\theta, r\sin\theta, z(r\cos\theta, r\sin\theta) \color{magenta}{\underbrace{\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}}_{\huge{= ... = r > 0}}} dr \, d\theta $
(Más información sobre Stewart P1017)

Answer 1

Cuando se hace una integral sobre una superficie en coordenadas, utilizamos vectores base para hablar de direcciones y sus productos cruzados para hablar de áreas. Por ejemplo, podemos parametrizar una superficie en (edit) $s, t$ y hablar del área diferencial $d\mathbf A= ( \partial_s \mathbf r \times \partial_t \mathbf r) \, ds \, dt$ . Por supuesto, si la superficie es de constante $z$ entonces podemos parametrizar en términos de $x,y$ y $\partial_x \mathbf r = \hat{\mathbf x}$ y $\partial_y \mathbf r = \hat{\mathbf y}$ por lo que obtenemos $d\mathbf A = \hat{\mathbf x} \times \hat{\mathbf y} \, dx \, dy$ .

En (15), se utiliza el mismo planteamiento, pero utilizando $\theta, \phi$ en lugar de $x, y$ . Usted podría utilizar el jacobiano y obtener la misma respuesta expresando $dx$ en términos de $dr, d\theta, d\phi$ y análogamente para $dy$ pero no es realmente necesario.

En (23), no me queda claro por qué esta integral se formula en términos de $r$ en absoluto, ya que la superficie es una esfera y, por tanto, se encuentra a constante $r = 2$ . No obstante, puede utilizar el mismo enfoque.

$$d\mathbf A = (\partial_r \mathbf r \times \partial_\theta \mathbf r) \, dr \, d\theta$$

Obtenemos $\partial_r \mathbf r = \hat{\mathbf r}$ y $\partial_\theta \mathbf r = r \hat{\boldsymbol \theta}$ . Eso explica dónde está el extra $r$ viene de.

(47) se trabaja de la misma manera, utilizando de nuevo $\theta, \phi$ .

Ahora, te estarás preguntando, si puedes encontrar todos estos elementos de área sin usar la Jacobiana, entonces ¿por qué la gente dice "usa la Jacobiana"? Pues porque, si ya tienes el vector del elemento de área expresado en un sistema de coordenadas, puedes moverlo a otro utilizando la jacobiana. En este caso, aún no tenemos el vector del elemento área expresado en un sistema de coordenadas, así que no tiene sentido utilizar (digamos) el cartesiano y luego trasladarlo con la jacobiana.

Es más fácil demostrarlo con una integral de línea. Consideremos una integral de línea con diferencial $d\boldsymbol \ell = \partial_x \mathbf r \, dx$ . Sea $u = u(x)$ sea alguna función, de modo que la integral pueda expresarse de forma equivalente como $d\boldsymbol \ell = (\partial_u x)(\partial_x \mathbf r) \, du = \partial_u \mathbf r \, du$ . Todo esto viene de la regla de la cadena, y $\partial_u x$ es la versión 1d del jacobiano.

¿Qué hacemos con el jacobiano? Estamos tomando derivadas de $\mathbf r$ con respecto a un conjunto de coordenadas y convertirlas en derivadas con respecto a otro conjunto de coordenadas. Las soluciones aquí omiten el jacobiano porque toman derivadas en coordenadas esféricas directamente.

Editar :

1) Tienes razón; me refería a una superficie de constante $z$ (y le daba pereza hacerlo).

2) Lo que quiero decir es que se puede derivar $d\mathbf A = r \hat{\boldsymbol \phi} \, dr \, d\theta$ de forma directa, en lugar de expresar el vector en cartesianas, escribir la matriz jacobiana y luego trasladarlo a un sistema de coordenadas esféricas.

Ya que saben la respuesta, creo que honestamente sólo conocía $dA = r \, dr \, d\theta$ y no le dio importancia. Después de trabajar con sistemas de coordenadas esféricas y polares el tiempo suficiente, como que simplemente conozca estas cosas. Pero debo enfatizar que eso, en sí mismo, es no utilizando la matriz jacobiana, porque la matriz jacobiana debe actuar sobre algún vector, convirtiéndolo de un sistema de coordenadas a otro. Como no se escriben las componentes cartesianas de $\hat{\mathbf n}$ no parece a mí que realmente lo están usando.

3) Me refiero a algo más fundamental. Dicen bien claro que debe ser "la superficie de una esfera", que por definición no varía con $r$ y así $r$ no deben integrarse, y sin embargo terminan con una expresión que sí depende de $r$ lo que no tiene sentido. Es como si se estuvieran integrando sobre una superficie completamente diferente a la que describen.

En cuanto al uso de coordenadas esféricas, sí, si vas a transformar en esas coordenadas de todos modos, se deben utilizar desde el principio. Parametrizar estas superficies en otro sistema de coordenadas es en gran medida un ejercicio inútil; una de las principales ventajas de trabajar en otros sistemas de coordenadas es simplificar las integrales y ajustarse a las simetrías naturales de un problema dado.