Expansión en armónicos esféricos en simetría cúbica

Question

supongamos que tengo un potencial electrostático que me expanda en armónicos esféricos a través de

$$\sum_{l,m} A^l_m r^n P_l^{|m|}(\cos \theta) e^{im\varphi}$$

y sé que el campo tiene simetría cúbica. ¿Hay algo que yo pueda decir acerca de los coeficientes de $A^n_m$? Me pregunto porque este sería el caso para el cristal de campo en un cúbicos de cristal, donde se sabe que el $e_g$ e las $t_{2g}$ orbitales están divididos. Estoy tratando de demostrar que el elemento de matriz es la misma para todos los $e_g$, y el mismo para todos los $t_{2g}$. He probado usando el Wigner-Eckart teorema, pero eso parece no ser suficiente; también necesita algo de simetría de las relaciones de la $A^n_m$...

Answer 1

Sí, por supuesto, simetría cúbica es una gran limitante en la condición de los coeficientes $A_{nlm}$ - supongo que significaba que los coeficientes dependen de $l$.

La simetría cúbica es generado por un par de generadores, tales como rotaciones de 90 grados. Por ejemplo, si el estado es simétrica con respecto a la rotación de 90 grados alrededor de la $z$ eje, significa que $\exp(\pi i J_z/2)$ ha de mantener el estado invariante. Esto implica que $m$ es decir, el autovalor de a $J_z$ tiene que ser un múltiplo de cuatro. Todos los coeficientes de $A_{nlm}$ que $m$ no es un múltiplo de cuatro, tienen que desaparecer.

Si el estado es también simétrica con respecto al $z\to(-z)$ reflexión (paridad), significa que el $l$ tiene que ser aún: todos los coeficientes con $l$ impar desaparecer.

Por último, si el estado es invariante bajo la rotación de 90 grados alrededor de la $x$ eje, no es una condición similar a la de los coeficientes de que es un poco más complicado que eso $m$ tiene que ser un múltiplo de cuatro (la condición se limitan algunas de las combinaciones lineales de los coeficientes), pero es esencialmente la misma cosa. Si se impone esta condición adicional, usted encontrará que sólo 1/48 de los coeficientes puede ser distinto de cero debido a que 48 es el orden del grupo. (Reemplazar 48 24 si no se incluye la paridad impar de transformaciones).

Answer 2

Este mismo problema se acercó en la cosmología de los años, cuando la gente comenzó a considerar la posibilidad de "topológicamente pequeño" universos. Estos son los modelos en los que el universo es espacialmente plano, pero tiene la topología de un 3-toro en lugar de de $R^3$. En otras palabras, el Universo tiene un número finito de células en la forma de un sólido rectangular, con periódicos de las condiciones de contorno. Si el tamaño de la celda es menor que el horizonte, entonces la radiación cósmica de fondo de microondas de campo de temperatura tiene la simetría cúbica que usted describe (en el caso más simple de un cúbicos fundamentales de la célula). Dado que la conexión entre CMB observaciones y la teoría se hace generalmente en un armónico esférico de expansión, el problema matemático es idéntico.

El resultado de todo esto es que hay un montón de reglas de selección de la especie Lubos describe, pero no sencilla de las relaciones de la especie, creo que usted está buscando.

Hubo una oleada de actividad en el CMB comunidad alrededor de estos modelos en la década de 1990. Si quieres ver lo que la gente vino para arriba con, usted podría tratar de Steven, Scott, y la Seda (1993), de Oliveira Costa y Smoot (1995), o un montón de otros documentos que citan estos dos.