He intentado resolver el ejercicio VIII.XX en Campos numéricos por Marcus . Se pide encontrar el campo de clase Hilbert de $Q(\sqrt m)$ para $m=-6,-10,-21,-30$ . Y el énfasis de esta pregunta está en las dos primeras.
Intenta resolver el primer caso.
Sabía que el número de clase de $K=Q(\sqrt{-6})$ es $2$ por lo que su extensión de campo de clase Hilbert $H/K$ es de grado $2$ . Dado que todos los grupos de orden $4$ son abelianos, sabemos que $H$ también es abeliano sobre $Q$ . Además, por el cálculo del conductor, sabemos que $H\subset Q(\zeta_{24})$ , donde $\zeta_{24}$ es un $24$ - raíz primitiva de la unidad. Después de calcular explícitamente el grupo de Galois de $Q(\zeta_{24})/Q$ es isomorfo con h $C_2\times C_2\times C_2$ . Observando que $\sqrt{-6}=(\zeta_8+\zeta_8^7)(1+2\zeta_3)$ deducimos que el grupo de Galois de $Q(\zeta_{24})/K$ es isomorfo con $G=C_2\times C_2$ . Así que hay $3$ subgrupos de $G$ del índice $2$ . Y no puedo decidir cuál de ellos es el subgrupo de fijación $H$ . Por supuesto, si escribimos todos los campos fijos de los tres subgrupos, entonces, examinando la descomposición de los ideales, podemos determinar, o concluir, que $H=Q(\sqrt2,\sqrt{-3})$ . Pero creo que debe haber una manera de decidir esto sin este ensayo y error.
De hecho, en el segundo caso, $K=Q(\sqrt{-10})$ Hay $7$ posibilidades de $H$ ¡! Además, después de algunos cálculos, descubrí que $H=Q(\sqrt{-10},\sqrt5)$ . Pero mi método es de nuevo ensayo y error. Y quiero encontrar una manera de determinar $H$ sin tanta fuerza bruta.
Pregunta
Dado un campo específico $K/Q$ ¿Cuál es la forma estándar, o la más eficiente, de determinar su campo de clase Hilber? $H$ ?
He mirado en Campos numéricos algebraicos por Janusz , pero el ejemplo que encontré allí es el caso $Q(\sqrt{-5})$ en el que el grupo galois de $Q(\zeta_{20})/K$ es cíclico de orden $4$ y, por lo tanto, tiene un único subgrupo de índice $2$ y por lo tanto no puede ayudarme aquí.
Cualquier ayuda es muy apreciada. Gracias de antemano.
