Integral

Question

¿Cómo podemos evaluar esta integral definida $$I=\int_0^{1/\phi}x\log(x)\log(1+x)\log(1-x)\,dx,$ $ $\displaystyle\phi=\frac{1+\sqrt5}2$ ¿Dónde está la proporción áurea?

Answer 1

¿Cómo se puede evaluar ?

La integración por partes, obtenemos \begin{align} \mathcal{I}(x)&=\int x \ln x\ln(1+x)\ln(1-x)\,dx=\\ &=-\frac12\int \ln x\ln(1+x)\ln(1-x)\,d(1-x^2)=\\ &=-\frac12 (1-x^2)\ln x\ln(1+x)\ln(1-x)\\ &\quad+\frac12\int\frac{\ln (1-x)\ln(1+x)}{x}dx\\&\quad-\frac12\underbrace{\int x\ln (1-x)\ln(1+x)\,dx}_{\text{elementary}}\\ &\quad +\underbrace{\frac12\int(1-x)\ln x\ln(1-x)dx-\frac12\int(1+x)\ln x\ln(1+x)dx}_{-\frac18\operatorname{Li}_2(x^2)+\text{elementary}}. \end{align} El segundo término antiderivada es el más complicado como ingenuamente que implica trilogarithms. Sin embargo, se puede simplificar usando el mismo truco que he utilizado respondiendo a tu otra pregunta: \begin{align*} \int\frac{\ln (1-x)\ln(1+x)}{x}dx=\frac12\int\frac{\ln^2(1-x^2)}{x}dx- \frac12\int\frac{\ln^2\frac{1+x}{1-x}}{x}dx \end{align*} El cálculo de estos dos antiderivatives por separado, Mathematica simplifica mucho más compacto (una línea) de la expresión, aún implicando trilogarithms.

Bien puede suceder que debido a la especial integración de los límites de la tri- (y?) dilogarithms puede ser levantado con varios polylogarithm identidades (véase la ecuación (2) de aquí y de las ecuaciones (12)-(19) aquí un par de ejemplos). Sin embargo, me parece que los cálculos de bastante aburrido, así que para que usted debe esperar una respuesta de Ustedes-Saben-Quien.

Answer 2

Es solo una idea (por ahora) $$ \lim_{a,b,c\to0}\partial_{abc}\int_0^{1/\phi}x^{+1}(1+x)^b(1-x)^cdx $$ el cambio de variables a $x\phi = y$ $$ \frac{1}{\phi^{+2}}\int_0^{1}y^{+1}(1+\frac{1}{\phi}y)^b(1-\frac{1}{\phi}y)^cdy $$ el uso de la Appel hipergeométricas encontramos $$ \int_0^1^{\alpha-1}(1-a_1x)^{-\beta}(1-b_1x)^{-\beta}dx = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(1)}{\Gamma(\alpha+1)}F_1\left(\alpha,\beta\beta';\gamma;a_1,b_1\right) $$ donde $\gamma-\alpha = 1$. la comparación de los términos nos encontramos $$ un+1 = \alpha-1\a \alpha = a+2\\ \beta = -b\\ \beta = -c\\ a_1 = \frac{1}{\phi}\\ b_1 = -\frac{1}{\phi} $$ por lo tanto la integral es $$ \lim_{a,b,c\to0}\partial_{abc}\frac{1}{\phi^{a+2}}\frac{\Gamma(a+2)\Gamma(1)}{\Gamma(a+3)}F_1\left(a+1,-b,-c;a+3;\frac{1}{\phi},-\frac{1}{\phi}\right)=\lim_{a,b,c\to0}\partial_{abc}\frac{1}{\phi^{a+2}}\frac{1}{a+2}F_1\left(a+1,-b,-c;a+3;\frac{1}{\phi},-\frac{1}{\phi}\right) $$