Antecedentes : Dejemos que $S$ denotan la llamada clase Schur de funciones analíticas complejas del disco unitario abierto $D$ en $\mathbb{C}$ al disco de la unidad cerrada $\overline{D}$ . Dados los distintos puntos $z_1,\ldots,z_n\in D$ y puntos $w_1,\ldots,w_n\in\overline{D}$ El teorema de G. Pick (1916) dice que existe un $f\in S$ tal que $f(z_j)=w_j$ para cada $j$ si y sólo si la matriz $\left(\frac{1-w_j\overline{w_k}}{1-z_j\overline{z_k}}\right)_{j,k=1}^n$ es semidefinido positivo. Supongamos que $g:D\to\mathbb{C}$ es una función. Por el Teorema de Pick se deduce inmediatamente que una condición necesaria para $g$ para estar en $S$ es que para cada $n$ y cada $n$ -pareja de puntos distintos $z_1,\ldots,z_n\in D$ la matriz $\left(\frac{1-g(z_j)\overline{g(z_k)}}{1-z_j\overline{z_k}}\right)_{j,k=1}^n$ es semidefinido positivo. Me parece notable que esto también es una condición suficiente (esto también se puede derivar utilizando el Teorema de Pick, aunque hay un método más general, como se indica en la Edición 2 y la respuesta de Yemon Choi). Sin embargo, no sé si Pick observó este hecho, y no lo veo en el trabajo relacionado de I. Schur de alrededor de esa época (1917-1918).
Pregunta : Quién observó por primera vez que una función $g:D\to\overline{D}$ es analítica si para cada $n$ y cada $n$ -pareja de puntos distintos $z_1,\ldots,z_n\in D$ la matriz $\left(\frac{1-g(z_j)\overline{g(z_k)}}{1-z_j\overline{z_k}}\right)_{j,k=1}^n$ es semidefinido positivo?
Para explicar un poco más, la teoría de los espacios de Hilbert de núcleo reproductor y sus multiplicadores en los que ahora se puede encontrar esta caracterización se desarrolló mucho después de que personas como Pick, Nevanlinna y Schur hubieran desarrollado otros aspectos de la teoría de las funciones analíticas acotadas en el disco unitario. Parte de la razón por la que me interesaría conocer el origen es que sería interesante ver si se utilizaron métodos completamente diferentes. Si no se utilizaron métodos diferentes, conocer su origen me ayudaría a comprender mejor la historia de los usos del espacio de Hilbert en la teoría de funciones.
Edición 1 : En un intento de aumentar la claridad, he cambiado el codominio de $\mathbb{C}$ a $\overline{D}$ , por lo que la condición trivial de estar acotada por 1 ya no se acentúa.
Edición 2 : Todavía tengo curiosidad por la historia de esto, pero me he dado cuenta de que estaba confundido sobre la relación lógica entre el Teorema de Pick y el criterio de positividad para la analiticidad. La respuesta de Yemon Choi señala una mejor manera de pensar en este último; es un criterio simple para ser un multiplicador de un espacio de Hilbert con núcleo de reproducción y funciona incluso para aquellas RKHS para las que el análogo del Teorema de Pick es falso. El criterio general aparece en la sección 2.3 del libro de Agler y McCarthy Interpolación de picos y espacios de funciones de Hilbert , la identificación de los multiplicadores del espacio de Hardy aparece en la sección 3.4, y el Teorema de Pick se demuestra en la sección 5.2.
