Acerca de los poderes de los números irracionales

Question

Cuadrado de un número irracional puede ser un número racional por ejemplo $\sqrt{2}$ es irracional pero su cuadrado es 2 que es racional.

¿Pero hay una raíz cuadrada de número irracional que es un número racional?

¿Es seguro asumir, en general, que $n^{th}$-raíz irracional siempre dará números irracionales?

Answer 1

Obviamente, si p es racional, entonces p² debe también ser racional (trivial probar).

$$ p \in \mathbb Q \Rightarrow p^2 \in \mathbb Q. $$

Tomar la contraposición, vemos que si x es irracional, entonces √x debe también ser irracional.

$$ p^2 \notin \mathbb Q \Rightarrow p \notin \mathbb Q. $$

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Por el poder negativo supongo que te refieres (1/n)-energía del th (es obvio que $(\sqrt2)^{-2} = \frac12\in\mathbb Q$). Es cierto por la frase anterior: sólo sustituir ² por ⁿ.

Answer 2

Esto es cierto porque, precisamente, los racionales $\mathbb Q$ comprenden un multiplicativo subsemigroup de los reales $\mathbb R,$
es decir, el subconjunto de los racionales es cerrado bajo la operación de multiplicación de $\mathbb R$. Su declaración surge al tomar el contrapositivo de esta declaración - que se transfiere en una declaración equivalente en el complemento del conjunto a $\mathbb R \backslash \mathbb Q$ irracionales reales.

Por lo tanto $\rm\quad\quad\quad r_1,\ldots,r_n \in \mathbb Q \;\Rightarrow\; r_1 \cdots r_n \in \mathbb Q$

Contra+ $\rm\quad\; r_1 r_2\cdots r_n \not\in \mathbb Q \;\Rightarrow\; r_1\not\in \mathbb Q \;\:$ o $\rm\;\cdots\;$ o $\rm\;r_n\not\in\mathbb Q$.

Su caso $\rm\;\;\; r^n\not\in \mathbb Q \;\Rightarrow\; r\not\in \mathbb Q \;$ es la constante especial el caso de $\rm r_i = r$

Obviamente, lo mismo es cierto si reemplazamos $\rm\mathbb Q\subset \mathbb R$ por cualquier subsemigroup de la cadena de $\rm G\subset H$

El contrapositivo forma es importante en el álgebra ya que se caracteriza primer ideales en semigroups, anillos, etc.