Producto escalar

Question

Que $E$ junto con $g$ ser un espacio de producto interno (sobre $\mathbb R$), $\text{dim}E=n<\infty$ y $\{e_1,\cdots,e_n\}$ es base orthonormal de $E$ que $\{e^1,\cdots,e^n\}$ es su base dual. Ahora definimos $\omega:=e^1\wedge\cdots\wedge e^n$ como elemento de volumen de $E$.

Cómo puedo probar que $\omega(u_1,\cdots,u_n)\omega(v_1,\cdots,v_n)=det[g(u_i,v_j)] \qquad \forall u_i,v_j\in E\qquad\text{and } i=1,\cdots,n\ ?$

Por supuesto, demostrar que $\omega(u_1,\cdots,u_n)=det[u_1 \cdots u_n]_{n\times n}$ (%#% de #% son columnas de la matriz), pero no averiguar cómo lo utiliza para mi problema.

Answer 1

Sugerencia: (1) % que $$ U=[u_1\cdots u_n],\ V=[v_1\cdots v_n]$$

Entonces $$ (U^TV)_{ij} = u_i\cdot v_j =g(u_i,v_j) $ $

(2) ${\rm det} (U^TV)={\rm det}\ U {\rm det}\ V$

Answer 2

La ecuación que se desea demostrar que es lineal en cada uno de los vectores $u_j$$v_j$. Por lo tanto, es suficiente para mostrar la identidad cuando estos vectores son vectores de la base. Hay $n$ vectores de la base de la que ahora queremos elegir el $n$ vectores $u_1,\dots,u_n$. Si elegimos cualquiera de los dos será el mismo, entonces ambos lados de la identidad desaparecer (y la identidad es la verdad), así que podemos asumir que son todas diferentes. Ambos lados de la identidad cambiar de signo en la misma forma si se permutar los vectores $u_1,\dots,u_n$, es decir que la manera de mayo de hecho se supone que $u_j=e_j$. Del mismo modo, podemos suponer que $v_j=e_j$. Así que sólo queda comprobar este caso, y ahora la identidad es, de nuevo trivial: ambos lados de la igualdad.