¿Es el grupo de Picard contable?

Question

¿El grupo de Picard de una variedad (lisa, proyectivo) siempre es contable?

Esto parece probable, pero no tengo ni idea si es verdad.

¿Si es así, es el grupo de Picard necesariamente finito generado?

Answer 1

Jajaja Incluso para las curvas hay una variedad entera que parametrizes $Pic^0$ (X). Se llama la variedad de jacobian. El jacobiano es dimensional g (donde g es el género de la curva), en particular el grupo de picard de campo si g > 0 y está trabajando sobre una incontable incontable.

Answer 2

Es conocido aquí y también en math.SE/56356 que el grupo de Picard de una curva no racional no es finitamente generado.