Medida vs medida exterior

Question

Básicamente me siento como que estoy teniendo un pollo antes de que el problema del huevo.

Una cubierta exterior de medida es una función definida sobre un conjunto X con las propiedades que vacía devuelve 0, de la sub aditividad y de monotonía. A partir de esta medida exterior tenemos un sigma álgebra de conjuntos medibles. En este sigma álgebra el exterior de la medida es una medida con la propiedad de aditividad de los sindicatos de distintos conjuntos.

Pero también podemos definir una medida , una función de conjunto, en un álgebra de conjuntos con las propiedades que vacía devuelve cero y de aditividad de los sindicatos de distintos conjuntos. A continuación, a través de caratheodory de la construcción se nos puede hacer una cubierta exterior de medida de la medida para el conjunto.

Entonces, ¿qué viene primero, o no venir primero?

Nota: para que todo esto comenzó con una muestra final de la pregunta a la que todavía estoy atascado en la que se preguntó "si una medida está definida en todo el juego de poder es también una medida exterior?" Es por eso que me marcó esto como tarea.

Nota 2: también es la respuesta a la pregunta la siguiente: Cualquier medida que pueda ser transformado en un exterior, medida a través de caratheodory?

Gracias.

Edit: se elimina el bit que se habla a continuación

Answer 1

Aquí es una manera estándar para la construcción de medidas en un espacio medible $(S,\mathcal{S})$ que puede ser utilizado por ejemplo para la construcción de medida de Lebesgue; varios estrechamente relacionados con los enfoques de existir. Por simplicidad, nos fijamos en finito de medidas.

Usted comienza con un álgebra $\mathcal{A}$ $S$ tal que $\mathcal{S}$ es el más pequeño de $\sigma$-álgebra que contiene todos los elementos de a $\mathcal{A}$. A continuación, se define un finito, no negativo y finitely aditivo establecer la función de $\mu_0$ $\mathcal{A}$ que es countably aditivo en el sentido de que si $(A_n)$ es una secuencia de conjuntos disjuntos en $\mathcal{A}$ e $\bigcup_n A_n\in\mathcal{A}$ ,$\sum_n \mu_0(A_n)=\mu_0\big(\bigcup_n A_n\big)$. Este supuesto es más fácil comprobar que para $\sigma$-álgebras, ya que bien podría ser el caso de que $\bigcup_n A_n\notin\mathcal{A}$.

A continuación, se definen una capa exterior de medida $\mu^*$ sobre todo el powerset $2^S$ dejando $$\mu^*(B)=\inf\bigg\{\sum_{A\in\mathcal{C}}\mu_o(A):\mathcal{C}\textrm{ is a countable subset of }\mathcal{A}\textrm{ such that }B\subseteq\bigcup_{A\in\mathcal{C}}A\bigg\}.$$ Deje $$\mathcal{S}_\mu=\Big\{B\in 2^S:\mu^*(A)=\mu^*(A\cap B)+\mu^*(A\cap S\backslash A)\textrm{ for all }A\in 2^S\Big\}.$$ Resulta que $\mathcal{S}_\mu$ $\sigma$- álgebra y la restricción de $\mu^*$, $\mu^*|\mathcal{S}_\mu$, es una medida. Por otra parte, $\mathcal{S}_\mu\supseteq \mathcal{S}\supseteq\mathcal{A}$, lo $\mu=\mu^*|\mathcal{S}$ es una medida en $\mathcal{S}$ y por otra parte, $\mu^*|\mathcal{A}=\mu_0$.