Epimorphisms de un grupo libre sobre un grupo libre

Question

Deje $f:F_n\to F_m$ ser un epimorphism ($n\geq m$). Entonces es cierto que hay una base $X=X_1\sqcup X_2$ $F_n$ tal que $f$ mapas de $\langle X_1\rangle$ isomorphically en $F_m$, y los mapas de $X_2$ a la identidad. Se podría deducir de esta afirmación de la Grushko-Neumann teorema, pero de alguna manera no puedo obtener una elegante prueba de ello.

Puedo ver que por la Grushko-Neumann, podemos suponer que $m=1$, y por tanto nuestro epimorphism factores a través de la abelianization. Y, a continuación, un feo álgebra lineal aparece... Alguna sugerencia de cómo hacer la prueba de mancha?

Answer 1

Yo no creo que usted necesita Grushko-Neumann para esto, usted sólo necesita saber acerca de Nielsen proceso de reducción.

Comience con cualquier (ordenada) gratis electrógenos $Y = \{ y_1, y_2, \ldots, y_n \}$ $F_n$ y, a continuación, aplicar el Nielsen proceso de reducción de la generación de la secuencia de $\phi(Y) = (\phi(y_1),\ldots,\phi(y_n))$ de la libre grupo de $F_m$. Pero llevar a cabo las operaciones de reducción en $Y$$\phi(Y)$.

Una t al final del proceso, usted tendrá lo que usted está buscando. El conjunto $X_1$ será la inversa de la imagen en $\phi$ resultante de la libre generación del sistema de $\phi(F)$, mientras que el $X_2$ mapa en el que los generadores que son eliminados durante el proceso de reducción como el elemento de identidad de $F_m$.