¿Cómo puedo mostrar que $4^{1536} - 9^{4824}$ puede ser dividido por $35$ sin residuos?

Question

¿Cómo puedo mostrar que $4^{1536} - 9^{4824}$ se puede dividir por $35$ sin dejar residuo?

Ni siquiera estoy seguro de cómo comenzar a resolver esto, ¡cualquier pista es bienvenida!

$$(4^{1536} - 9^{4824}) \pmod{35} = 0$$

Answer 1

El teorema de Euler implica, dado que $\varphi(35)=24$, que $$4^{24}\equiv 9^{24}\equiv 1\pmod {35}$$

Dado que $1536$ y $4824$ son múltiplos de $24$, la conclusión sigue:

$$4^{1536}-9^{4824}=(4^{24})^{64}-(9^{24})^{201}\equiv1^{64}-1^{201}\equiv 0\pmod{35}$$

Answer 2

Darse cuenta de que es divisible si y solo si $5$ y $7$ lo dividen. Observa que

$$4^{1536}-9^{4824}\equiv_5 (-1)^{1536}-(-1)^{4824}= 1-1=0$$

entonces para el $7$, observa que:

$$4^{1536}-9^{4824}\equiv_7 (16)^{768}-(2)^{4824}\equiv_7 (9)^{768}-(8)^{1608}\equiv (2)^{768}-(1)^{1608}$$

Pero $1^{1608}=1$ y $2^{768}=8^{256}$, así que $$(2)^{768}-(1)^{1608}\equiv 8^{256}-1\equiv 1^{256}-1=0$$

Para el caso de la división por $7$, reduje los módulos dividiendo por $2$ e intentando encontrar un número congruente a $1$. Si usas el pequeño teorema de Fermat, podrías reducir las operaciones.

Answer 3

Dado que $35=7*5$ y $5,7$ son primos, basta con demostrar que es divisible por ambos $5$ y $7$. Para hacer esto, nota que $4\equiv 9\equiv -1$ mod $5$, entonces $$ 4^{1536}-9^{4824}\equiv (-1)^{1536}-(-1)^{4824}\equiv 1-1\equiv 0\mod 5. $$ Para demostrar la divisibilidad por $7$ se requiere un poco más de trabajo; intenta demostrar que las potencias sucesivas de un elemento eventualmente ciclan mod $7$, y entonces podrás obtener una forma agradable para ellos.

Answer 4

Tenga en cuenta que, para valores enteros crecientes de $n$, el valor de $4^n \mod 35$ (llamémoslo $r_1$) muestra un comportamiento cíclico. En particular, para cualquier $n \equiv k \mod 6$, tenemos

$$ k=0\rightarrow r_1 =1$$ $$ k=1\rightarrow r_1 =4$$ $$ k=2\rightarrow r_1 =16$$ $$ k=3\rightarrow r_1 =29$$ $$ k=4\rightarrow r_1 =11$$ $$ k=5\rightarrow r_1 =9$$

De manera similar, considerando valores enteros crecientes de $n$, el valor de $9^n \mod 35$ (llamémoslo $r_2$) muestra el siguiente comportamiento cíclico para cualquier $n \equiv k \mod 6$. Tenemos

$$ k=0\rightarrow r_2 =1$$ $$ k=1\rightarrow r_2 =9$$ $$ k=2\rightarrow r_2 =11$$ $$ k=3\rightarrow r_2 =29$$ $$ k=4\rightarrow r_2 =16$$ $$ k=5\rightarrow r_2 =4$$

Ahora tanto $1536$ como $4824$ son $\equiv 0 \mod 6$, por lo que tanto $4^{1536}$ como $9^{4824}$ son $\equiv 1 \mod 35$.

Answer 5

Pista

$4^{1536}-9^{4824} =64^{512}-729^{1608} =(7*9+1)^{512}-(7*104+1)^{1608} 0 \mod 7$