explosión, curvas -1, divisores efectivos y amplios

Question

Digamos que estamos en una superficie lisa, y explotamos en un punto. ¿Existe algún cálculo explícito sencillo que me demuestre el hecho de que el divisor excepcional E tiene autointersección -1 ? No considero explícito el divisor canónico (pero estoy abierto a ello). Sí considero explícito el pirateo de series de potencias.

Estoy bastante desconcertado por este -1. ¿Es E efectivo (parece serlo, por definición?). ¿Es E amplio (parece que no, por cosas del tipo Nakai-Mozeishon)? En términos más generales, solía pensar que tanto la eficacia como la amplitud eran medidas de "positividad"; pero quizá esté equivocado: ¿qué tienen que ver la eficacia y la amplitud?

¿Qué ocurre localmente en un punto de intersección -1? Pensaba que dos curvas irreducibles sobre una superficie debían intersecarse o bien en 0 puntos, o bien en un número positivo de puntos. Para encontrar E.E habría intentado mover E a algún otro divisor, y entonces obtendría E.E = 0 o no negativo.

Perdón por las múltiples preguntas, pero estoy muy angustiada :(

Answer 1

Querido compañero,

No puedes moverte $E$ (!), por lo que no hay contradicción con que tenga auto-intersección -1. De hecho, si se toma un campo vectorial normal a lo largo de $E$ tendrá necesariamente grado -1 (es decir el número total de polos es uno más que el número total de ceros), o (equivalentemente), el haz normal a $E$ en la superficie volada es $\mathcal O(-1)$ .

[Añadido:] He aquí una versión del argumento dado en la respuesta de David Speyer, que es riguroso modulo hechos básicos acerca de la teoría de la intersección:

Elige dos curvas suaves muy amplias $C_1$ y $C_2$ que pasa por el punto $P$ siendo inflados en diferentes direcciones tangentes. (Podemos construirlas usando secciones de hiperplanos en alguna incrustación proyectiva, usando Bertini; la suavidad es sólo porque quiero $P$ un punto simple en cada uno de ellos). Si el $C_i$ reunirse en $n$ apunta lejos de $P$ entonces $C_1\cdot C_2 = n+1$ .

Ahora tire hacia atrás del $C_i$ a las curvas $D_i$ en el reventón. Tenemos $D_1 \cdot D_2 = n + 1$ . Ahora porque $C_i$ pasa a través de $P$ Cada $D_i$ tiene la forma $D_i = D_i' + E,$ donde $D_i'$ es la transformada propia de $C_i$ y pasa por $E$ en un único punto (correspondiente a la dirección tangente a lo largo de la cual $C_i$ atravesado $P$ ). Así, $D_1'\cdot D_2' = n$ (lejos de $P$ nada ha cambiado, pero en $P$ hemos separado las curvas $C_1$ y $C_2$ a través de nuestra ampliación).

Ahora calcula $n+1 = D_1\cdot D_2 = D_1'\cdot D_2' + D_1'\cdot E + E\cdot D_2' + E\cdot E = n + 1 + 1 + E\cdot E$ demostrando que $E\cdot E = -1$ . (Como se hace a menudo, calculamos la intersección de curvas que no podemos mover a una intersección adecuada añadiendo suficiente material extra para que podamos calcular la intersección resultante moviendo las curvas a la posición adecuada).

Answer 2

Escriba a $\mathbb{CP}^1$ como dos copias de $\mathbb{C}$ con coordenadas $z_1$ y $z_2$ respectivamente, pegados a lo largo del mapa $z_1 \mapsto z_2=\frac{1}{z_1}$ en $z_1\neq 0$ .

Escriba el paquete de líneas $\mathcal{O}(-1) \rightarrow \mathbb{CP}^1$ como dos copias de $\mathbb{C} \times \mathbb{C}$ con coordenadas $(z_1, v_1)$ y $(z_2,v_2)$ respectivamente, pegados a lo largo del mapa $(z_1,v_1) \mapsto (z_2, v_2) = (\frac{1}{z_1}, z_1 v_1)$ en $z_1\neq 0$ . Denotemos la sección cero por $Z$ .

Por definición de blow-up, existe un isomorfismo holomorfo desde una pequeña vecindad de E a una vecindad de $Z$ y este isomorfismo envía $E$ à $Z$ .

Por lo tanto, basta con calcular la autointersección de $Z$ . Se trata de una noción topológica, por lo que lo natural es encontrar un ciclo $\gamma$ homólogo a $Z$ y la intersección de $Z$ transversalmente. (No se puede pedir $\gamma$ para ser un divisor: $Z$ es el único divisor compacto en $\mathcal{O}(-1)$ .)

Construir un $\gamma$ como continuo sección de $\mathcal{O}(-1)$ : en $\vert z_1 \vert \leq 1$ Toma $z_1 \mapsto (z_1,v_1=1)$ en $\vert z_2 \vert \leq 1$ Toma $z_2 \mapsto (z_2,v_2= \overline{z_2})$ . Sobre el solapamiento $\vert z_1 \vert=1= \vert z_2 \vert$ tenemos $v_2= \overline{z_2} = \frac{1}{z_2} = z_1 = z_1 v_1$ según sea necesario.

Una homotopía de $Z$ à $\gamma$ viene dada por $z_1 \mapsto (z_1,t)$ y $z_2 \mapsto (z_2, t\ \overline{z_2})$ para $t\in [0,1]$ . En particular (la imagen de) $\gamma$ es homólogo a $Z$ .

El único punto de intersección de $\gamma$ y $Z$ está en $(z_2,v_2)=(0,0)$ . Allí, la orientación de $Z$ dada por su estructura compleja está representada por los vectores $(1,0)$ y $(i,0)$ . Empujando esta orientación con la homotopía anterior se obtiene la orientación para $\gamma$ representado por $(1,1)$ y $(i,-i)$ .

En $\mathbb{R}$ -base de $\mathbb{C} \times \mathbb{C}$ dado por $(1,0)$ , $(i,0)$ , $(1,1)$ y $(i,-i)$ tiene la misma orientación que $(1,0)$ , $(i,0)$ , $(0,1)$ y $(0,-i)$ que es negativo. Conclusión: $Z.\gamma = -1$ Así que $Z.Z=-1$ Así que $E.E=-1$ .

Answer 3

En primer lugar, no hay contradicción. Si tomas otro representante del mismo sistema lineal, éste tendrá que tener algunos coeficientes negativos. Puedes calcular intersecciones contando puntos sólo cuando la intersección es transversal (o al menos adecuada si cuentas multiplicidades) y ciertamente $E$ no es transversal a sí misma.

Desde otro punto de vista, el espacio tangente a las deformaciones espaciales de $E$ en $S$ en el punto $[E]$ es $T_{[E]} Def = H^0 ( N_{E/S})$ y este último es cero. En efecto, por adjunción $N_{E/S} = \mathcal{O}_S(E) |_E = \mathcal{O}_E(-1)$ . Así que no sólo su sistema lineal sólo contiene el punto $[E]$ ; no hay forma de deformar $E$ en absoluto (ni siquiera de forma no lineal).

En cuanto al cálculo, digamos $S$ es la ampliación de $T$ en el punto $p$ , dejemos que $f \colon S \to T$ sea el reventón. Tomemos cualquier curva $C$ de paso $p$ con multiplicidad $1$ Entonces $f^{*}(C) = \widetilde{C} + E$ donde $\widetilde{C}$ es la transformación estricta.

Por la fórmula push-pull $E \cdot f^{*}(C) = f_{*}(E) \cdot C = 0$ Por lo tanto $E \cdot \widetilde{C} = - E^2$ . Pero $E \cdot \widetilde{C} = 1$ porque se cruzan transversalmente en un punto y ¡listo!

Answer 4

La intuitiva argumento es el siguiente: Vamos a $D$ ser un local gráfico en la superficie lisa, con las coordenadas $(z,w)$, y con $(0,0)$ el punto de ser destruido. Deje $\pi: D' \to D$ ser el golpe, con $E$ la curva de $\pi^{-1}{\large (}(0,0){\large )}$. Considerar la intersección de $X_t := \pi^{-1} \left( \{ x = t \} \right)$$Y_u := \pi^{-1} {\large (}\{ y = u\} {\large )}$.

Al $t$ $u$ no son cero, estas son curvas suaves, salas de reuniones transversalmente en $(t,u)$, por lo que se entrecruzan con la multiplicidad $1$. Al $t$ se convierte en $0$, $X_0$ se divide en dos piezas,$X' \cup E$. Para $u$ cero, $Y_u$ misses $E$ y se reúne $X'$ transversalmente, de manera que la intersección es todavía $1$. Del mismo modo, $Y_0 = E \cup Y'$.

Ahora, vamos a $t=u=0$. Queremos calcular $$\langle X_0, Y_0 \rangle = \langle X'+E,\ Y'+E \rangle = \langle X', Y' \rangle + \langle X', E \rangle + \langle E, Y' \rangle + \langle E, E \rangle.$$

Por la continuidad, la mano izquierda debe ser $1$. $X_0$ y $Y_0$ perderse el uno al otro, y $E$ cumple con $X_0$ $Y_0$ transversalmente. Tenemos $$1 = 0 + 1 + 1 + \langle E, E \rangle$$ así $$ \langle E,E \rangle = -1.$$

Answer 5

Que $E$ tiene auto-intersección $-1$ es Hartshorne la Proposición V. 3.1. La relación entre la efectividad y la amplitud es más evidente en el caso de los divisores en una curva donde una (no linealmente trivial) divisor tiene un grado mayor que $0$ si y sólo si es amplio (Hartshorne IV.3.3). Así que, sin duda por las curvas de efectividad implica amplitud. Por otro lado, incluso en las curvas, existe un amplio divisores de que no son eficaces, por ejemplo, considerar una superficie lisa y no hyperelliptic curva de género, al menos, $3$ y tomar el divisor $2p-q$ $p,q$ puntos de la curva. Esta es amplio pero no efectivo.

Como para pensar acerca de la amplitud en general, es un divisor amplio si y sólo si un tensor de poder de la que es muy amplio (Hartshorne II.7.6), y muy amplitud es conveniente pensar ya que básicamente dice que usted tiene una incrustación en el espacio proyectivo y que el local libre gavilla de rango $1$ asociados para el divisor es el pullback de $\mathcal{O}(1)$ desde el espacio proyectivo. Finalmente, en una curva puede tener un impacto negativo auto-intersección sólo consigo mismo, de modo que usted siempre puede confiar en el teorema de Bezout de trabajo como su intuición! También, como se puede ver, todas las afirmaciones anteriores son en Hartshorne!