Rango de un conjunto como la suma de los rangos de sus elementos.

Question

En general, para un conjunto $X$ ¿Por qué es cierto que $\mathrm{rank}(X)=\sup\{\mathrm{rank}(y)+1\mid y\in X\}$ ?

La definición de rango que tengo es que $\text{rank}(x)=\text{ the least }\alpha\text{ such that }x\in V_{\alpha+1}$ . ¿Supongo que deben ser la misma cosa?

Answer 1

Esta es la definición del rango del conjunto $X$ . $\newcommand{rank}{\operatorname{rank}}$

Utilizamos el hecho de que $\in$ está bien fundada, y que los ordinales están bien ordenados. Estas propiedades nos permiten definir recursivamente esta función. $$\rank:V\to\operatorname{Ord}$$

Y nos permite hablar de los conjuntos $V_\alpha=\{x\in V\mid \rank (x)<\alpha\}$ para un ordinal $\alpha$ . Esto se conoce como el jerarquía de von Neumann .

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Dada la definición de $\rank$ como el menos $\alpha$ tal que $x\subseteq V_\alpha$ podemos demostrar la equivalencia por inducción.

Supongamos que para un ordinal $\alpha$ tenemos que si $\rank(y)<\alpha$ entonces la equivalencia se mantiene.

Si $\sup\{\rank(y)+1\mid y\in x\}=\beta<\alpha$ entonces tenemos que $y\in x$ implica que $y\in V_\beta$ y por lo tanto $x\in V_{\beta+1}\subseteq V_\alpha$ y por lo tanto $\rank(x)<\alpha$ y la equivalencia se mantiene.

Por lo demás, $\sup\{\rank(y)+1\mid y\in x\}=\alpha$ y dado $\beta<\alpha$ podemos encontrar $y\in x$ tal que $y\notin V_\beta$ . En particular, esto significa que $x\nsubseteq V_\beta$ por lo tanto $x\notin V_{\beta+1}$ . Y en efecto $\alpha$ es el ordinal mínimo tal que $x\in V_{\alpha+1}$ como queríamos.