¿Qué significa que el cociente $S^n\to\mathbb{R}P^n$ actúa como la identidad en el hemisferio superior, y el mapa antipodal en el hemisferio inferior?

Question

No estoy seguro de cómo se calcula el grado de los mapas celulares al encontrar la homología de $\mathbb{R}P^n$ .

Lo sé. $RP^n$ tiene una estructura CW con una celda en cada grado, y $e^k$ está pegado a $RP^{k-1}$ por el mapa adjunto $q:S^{k-1}\to RP^{k-1}$ .

El grado de la $k$ el mapa celular $d_k$ es el grado de la composición $$ S^{k-1}\stackrel{q}{\to}RP^{k-1}\to RP^{k-1}/RP^{k-2}=S^{k-1} $$

Todas las explicaciones que encuentro concluyen que el grado es $\deg(i)+\deg(a)=1+(-1)^{k-1}$ , donde $i$ y $a$ son la identidad y el mapa antipodal.

El razonamiento es que la composición actúa como la identidad en el hemisferio superior, pero como el mapa antipodal en el hemisferio inferior? ¿Qué significa esto? Si $x\in S^{k-1}$ entonces $$ x\mapsto [x]=\{x,-x\}\mapsto\ ? $$ No sé qué hace el segundo mapa en las clases de equivalencia para que la composición actúe como el mapa de identidad y el antipodal, como se ha descrito anteriormente. Supongo que simplemente envía $[x]\mapsto x$ si $x$ está en el hemisferio superior? ¿Cómo sabemos que eso es lo que hace el segundo mapa de cociente?

Gracias.

Answer 1

El punto crucial es cómo $RP^{k-1}/RP^{k-2}$ se identifica con $S^{k-1}$ .

$RP^{k-1}$ es el cociente del hemisferio norte $N$ que se obtiene identificando puntos opuestos en su frontera $S^{k-2}$ . Si $RP^{k-2}$ se divide, esto es lo mismo que construir el cociente $N/S^{k-2}$ que es lo mismo que $S^{k-1}$ ya que es la compactación en un punto de un disco abierto.

Usando esta identificación, $N$ se mapea en $S^{k-1}$ "estirando" (por lo que su mapa no es realmente la identidad en el hemisferio, sólo homotópico a él) hacia el polo sur, y $S$ se mapea en $S^{k-1}$ aplicando primero $-id$ y luego hacer lo mismo.