He estado leyendo a través de un curso sobre funciones exponenciales, a partir de enteros con valores de los exponentes racionales en: $x^r$$r\in \Bbb{N}$$\Bbb{Z}$, y la combinación de ellos para rigurosamente construir para $r\in\ \Bbb{Q}$. Aún así, este libro de direcciones de los estudiantes de secundaria, y por lo tanto un "citatorio" una extensión de la notación exponencial real exponentes. ¿Hay alguna base formal para esta extensión? Podría estar relacionado con la densidad de $\Bbb{Q}$$\Bbb{R}$ ? O el límite de una secuencia $(x^{(r_n)})$ donde $(r_n)_{n=1}$ es una secuencia de racionales que converge a $r$ no exponente racional?
Respuestas
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La respuesta es: sí, está relacionada tanto con esas cosas. Dado cualquier real $\alpha,$ la densidad de $\Bbb Q$ $\Bbb R$ nos permite encontrar un aumento de la secuencia de $(r_n)_{n=1}^\infty$ de los números racionales convergentes a $\alpha$. Dependiendo de positivos $x$ estamos considerando, la secuencia de $(x^{r_n})_{n=1}^\infty$ va a ser creciente, decreciente o constante. En el último caso, la secuencia fácilmente converge y su límite está definido para ser $x^\alpha.$ En los dos primeros casos, observamos que la sucesión está acotada, por lo que por la integridad de la $\Bbb R$, tiene menos superior/mayor límite inferior, uno de los cuales será el límite de la secuencia, y en cualquier caso, definimos $x^\alpha$ a ser el límite de la secuencia.
Mostrando que nuestra elección de la secuencia no importa (por lo que el $x^\alpha$ está bien definido en esto de la moda) es un poco más complicado, y probablemente más allá del alcance de su curso, pero esa es la idea.
Trevor Wilson
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Sí, es relativa a cada una de las cosas que usted menciona. Debido a $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$, una función continua en a $\mathbb{Q}$ (por ejemplo, la función dada por $q \mapsto x^q$ donde $x > 0$) puede tener como máximo una extensión continua a $\mathbb{R}$. Esto es debido a que la densidad implica que cada número real $r$ es un límite de una sucesión de racionales $\{q_n : n \in \mathbb{N}\}$, por lo que cualquier extensión continua debe satisfacer $x^r = \lim_{n \to \infty} x^{q_n}$. A ver que una extensión continua que existe en absoluto, debemos comprobar que $\lim_{n \to \infty} x^{q_n}$ existe y es indpendent de la elección de la secuencia de $\{q_n : n \in \mathbb{N}\}$ convergentes a $r$.
Alternativamente, una definición más simple de $x^r$ sería $$x^r = \begin{cases} \sup \{x^q : q \in \mathbb{Q} \mathbin{\&} q \le r\} & \text{if } x \ge 1,\\ \sup \{x^q : q \in \mathbb{Q} \mathbin{\&} q \ge r\} & \text{if } 0 < x < 1, \end{casos} $$ aunque puede tomar un poco de trabajo para comprobar que esto define una función con las propiedades deseadas.
