¿Cuál es la continuación analítica de un multifactorial?

Question

El $\Gamma$ es la continuación analítica de la función factorial. ¿Existe un análogo similar para los multifactoriales?

Me interesa especialmente el doble factorial. Todo lo que Google me ha dado es la siguiente fórmula que relaciona el $\Gamma$ al factorial doble para valores medios enteros: $$\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)=\frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi}$$ Pero quiero doblar factoriales no enteros, así que esto no es realmente útil.

Answer 1

¿Por qué no es útil? Si se escribe la identidad como $$(2n-1)!! = \frac{\Gamma(n + \frac{1}{2}) 2^n}{\sqrt{\pi}}$$ y luego dejar que $n = (x+1)/2$ se obtiene $$x!! = \frac{\Gamma(\frac{x+2}{2}) 2^{(x+1)/2}}{\sqrt{\pi}}$$ El lado derecho se define ahora para cualquier complejo $x$ siempre que el argumento de la función Gamma esté definido.