Demostrar que dado un entero no negativo $n$ hay un único número entero no negativo $m$ tal que $(m-1)^2 ≤ n < m^2$

Question

Demostrar que dado un entero no negativo $n$ hay un único número entero no negativo $m$ tal que $(m-1)^2 ≤ n < m^2$

Mi primera idea es utilizar una prueba de inducción, así que empecé con n = k = 0:

$(m-1)^2 ≤ 0 < m^2 $

Así que claramente, hay una única $m$ que satisface esta proposición, a saber $m=1$ .

Ahora trato de extenderlo al paso inductivo y decir que si la proposición es verdadera para cualquier $k$ debe ser también cierto para $k+1$ .

$(m-1)^2 + 1 ≤ k + 1 < m^2 + 1$

Pero ahora no estoy seguro de cómo probarlo. ¿Alguna idea?

Answer 1

No estoy seguro de que la prueba por inducción valga la pena hacerla aquí - es mucho más fácil demostrarla en general. Dejemos que $(a_m)_{m\in \Bbb N_0}$ sea una secuencia monotónicamente creciente e ilimitada. Por la ausencia de límites, para cualquier $n$ existe $k\in \Bbb N_0$ tal que $n<a_k$ y así podemos definir $$ m(n) = \min\{k\in \Bbb N_0:n<a_k\}. $$ Claramente, $a_{m(n)-1}\leq n$ ya que de lo contrario llegaríamos a una contradicción con la definición de $m(n)$ ya que la secuencia $a_m$ es creciente. Así, $m(n)$ es el único número tal que $$ a_{m(n)-1}\leq n<a_{m(n)}. $$ Sólo toma ahora $a_m = m^2$ .

Answer 2

Intenta dividirlo en casos, dependiendo de si $k < m^2 - 1$ o $k = m^2 - 1$ . Si se cumple lo primero, demuestre que $(m-1)^2 \leq k+1 < m^2$ . En caso contrario, demuestre que $m^2 \leq k+1 < m^2 +1 \leq (m+1)^2$ .

Answer 3

Dado $n\ge0$ (y no necesariamente un número entero), dejemos que $S=\{m\in\mathbb N_0\mid m^2>n\}$ Entonces el conjunto $S$ es un subconjunto no vacío (¿por qué?) de $\mathbb N_0$ y por lo tanto contiene un elemento más pequeño $m_0$ . Entonces $m_0^2>n$ porque $m_0\in S$ . Entonces, claramente $m_0\ne 0$ porque $m_0^2>n\ge 0$ Por lo tanto $m_0-1\in\mathbb N_0$ . Pero por la minimidad de $m_0$ tenemos $m_0-1\notin S$ Por lo tanto $(m_0-1)^2<n$ .

Supongamos que también $(m_1-1)^2<n\le m_1^2$ para algunos $m_1\ne m_0$ . Entonces $m_1>m_0$ por la minimización de $m_0$ . Entonces, desde $(m_1-1)^2-m_0^2=(m_1+m_0-1)(m_1-m_0-1)\ge 0$ concluimos que $(m_1-1)^2\ge m_0^2>n$ - contradicción.

Observación: Dejemos que $f\colon \mathbb N_0\to \mathbb R$ sea cualquier función estrictamente monótona y sin rebote. Entonces para cada $a\in\mathbb R$ con $a\ge f(0)$ existe un único $m\in\mathbb N$ tal que $f(m-1)\le a<f(m)$ .

Answer 4

Es demasiado tarde para responder a la pregunta, pero si te sirve de ayuda puedes demostrarlo también por contradicción.

Supongamos que existe un k tal que k es menor que m. por lo que

(k−1) 2 ≤n< k 2

El menor k posible es k = m-1 . Entonces tenemos

(m-2) 2 ≤ n< (m-1) 2

lo que contradice la afirmación asumida. por lo que la solución tiene un valor único.