Teorema de Darboux de varias variables

Question

Dejemos que $f:U\longrightarrow \mathbb{R}$ una función diferenciable donde $U\subset\mathbb{R}^n$ abierto conectado.

¿Qué podemos decir de la imagen de la derivada $f'(U)\subset \mathbb{R}^n$ ?

$f'(U)$ ¿está conectado?

Si $n=1$ , $\;f'(U)$ es un intervalo por Teorema de Darboux ¿alguna referencia?

Se agradecerá cualquier sugerencia.

Answer 1

EDIT 1 : Parece que la prueba de abajo es errónea, ya que $\epsilon$ debería depender de $x$ y por lo tanto $S$ no está necesariamente conectado.
EDIT 2 : Como se responde en MathOverflow (en el enlace publicado por @Martin Sleziak), resulta que la generalización del teorema de Darboux no se cumple.

Para $\epsilon$ suficientemente pequeño , considere : $$S = \{\ (\frac{f(x+te_1)-f(x)}{t},...,\frac{f(x+te_n)-f(x)}{t}) : x\in U \;,\, t\in (0,\epsilon_x)\ \}$$ Desde $g:(x,t)$ $\rightarrow$ $(\frac{f(x+te_1)-f(x)}{t},...,\frac{f(x+te_n)-f(x)}{t})$ es continua, S está conectado . Además, está claro que $f'(U) \subset \overline S$ (*).

Ahora para $x \in U$ y $t\in (0,\epsilon),$ considere $h_x(t)=(f(x+te_1),...,f(x+te_n)).$ Por el Teorema del valor medio existe $t_0 \in (0,t)$ tal que : $$\frac{h_x(t)-h_x(0)}{t}=h_x'(t_0)$$ lo que equivale a decir : $$(\frac{f(x+te_1)-f(x)}{t},...,\frac{f(x+te_n)-f(x)}{t})=(\frac{\partial f}{\partial x_1}(x+t_0e_1),...,\frac{\partial f}{\partial x_n}(x+t_0e_n))$$ Por lo tanto, $S \subset f'(U)$ (**).

Por (*) y (**) tenemos : $S \subset f'(U) \subset \overline S$ Por lo tanto $f'(U)$ está conectado.

Answer 2

El hilo de MathOverflow, enlazado en los comentarios y la respuesta, apunta al documento Solución al problema del gradiente de C.E. Weil de Buczolich, en el que construyó una función diferenciable $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$ tal que $\nabla f(0)=0$ y $|\nabla f|\ge 1$ en todos los demás puntos. Me gustaría añadir que se encontró una prueba más corta en Una nota sobre la solución de Buczolich del problema del gradiente de Weil: una construcción basada en un juego infinito de Malý y Zelený (lamentablemente, su artículo está detrás del muro de pago de Springer). Un aspecto interesante de este último artículo es la juego-teórico formulación:

Dejemos que $B$ sea una bola abierta en $\mathbb R^2$ . El juego por puntos es una secuencia de rondas. El primer y el segundo jugador juegan a los puntos $a_k\in B$ y líneas $p_k$ , respectivamente, obedeciendo las siguientes reglas. En la primera ronda, el primer jugador juega un punto $a_1\in B$ y luego el segundo jugador juega una línea $p_1$ con $a_i\in p_1$ . En el $k$ La primera ronda, el primer jugador juega un punto $a_k\in B\cap p_{k-1}$ y luego el segundo jugador juega una línea $p_k$ de paso $a_k$ . El primer jugador gana si la secuencia $(a_k)$ diverge, de lo contrario el segundo jugador gana.

Malý y Zelený demuestran

Teorema 1.2 . El segundo jugador tiene una estrategia ganadora.

y reprobar el resultado de Buczolich basado en este teorema.