Proving propiedades para el proceso de Poisson.

Question

Definir un proceso de Poisson como una tasa proceso donde los incrementos tienen una distribución de Poisson con parámetro de $\lambda$*"longitud de incremento".

Quiero demostrar estas propiedades:

Tiene casi seguramente saltos de valor 1.

Es casi seguro incrementando.

Cuando cambia, el cambio es casi seguramente de valor entero.

Ya casi es sin duda positivo. Creo que esto va a seguir a partir de la anterior.

Anteriormente he tratado de demostrar que los saltos es casi seguramente de valor 1 aquí: Demostrando que el proceso de Poisson tiene una.s. saltos de valor 1.

Pero mirando hacia atrás en la prueba creo que es equivocado. Debido a que la prueba se basa en el si, por ejemplo, $N((k+1)*T/n)-N(kT/n)$ en toda nuestra partición es 0 o 1, entonces este evento está contenido en el caso de que todos nuestros saltos de valor 0 o 1. Sin embargo, en teoría, podría moverse hacia arriba y hacia abajo más en cada intervalo de tiempo.

Así que, ¿a ver cómo probar las propiedades escribí en el inicio? Mi única idea es de alguna manera mirar las particiones que approaces 0 de longitud, y el uso que, a continuación, la probabilidad de que $N((k+1)*T/n)-N(kT/n)$ es 0 o 1 enfoques 1. Pero el problema es que incluso si $N((k+1)*T/n)-N(kT/n)=1$ el proceso puede haber tenido dos saltos donde bajó 2.4 y, a continuación, hasta 3.4.

Otro problema es el aumento de la parte. Para cualquier intervalo de tiempo, existe una probabilidad positiva de que el valor final del proceso en el intervalo de menos el valor de inicio es positivo, es 1.(Ya que la distribución de aquí es de Poisson) sin Embargo, esto no quiere decir que el proceso está en aumento en todo el intervalo?

¿Cómo se demuestra que se comporta de esa manera sabemos que hace, un.s.?

O tal vez sólo decir algo sobre el proceso, si hemos de fijar el intervalo de primera? Si fijamos un intervalo de tiempo dado, podemos decir con probabilidad 1 que aumenta y que el aumento de valor de valor entero? Pero no podemos demostrar que el proceso tiene una.s. el aumento de la muestra caminos? Así que, en esencia, sólo podemos probar cosas acerca de un número finito de puntos, pero no el recorrido de la muestra como un todo? Pero entonces, ¿qué sucede con los saltos de valor 1.s.? Tal vez ni siquiera podemos demostrar esto?

ACTUALIZACIÓN: Limpiador versión de la pregunta Tal vez no es tan fácil ver lo que me estoy preguntando acerca de la pregunta anterior. Voy a intentar explicar un poco más precisa.

Suponga que usted sólo tenga el intervalo [0,T]. Digamos que tiene una secuencia de particiones que converge a 0. A continuación, sólo tiene que consultar a los respectivos valores del proceso en la partición de puntos. Se puede demostrar que estos valores están aumentando con probabilidad 1. Pero si has mirado en todo el recorrido de la muestra, podría usted demostrar que la ruta está aumentando con probabilidad 1?

En cada partición puede probar con probabilidad 1 que la función sólo cambios con valores enteros en la partición de puntos. Se puede demostrar esta propiedad para la muestra completa de la ruta de una.s.?

Se puede demostrar que a medida que los intervalos de la partición tiende a cero, la probabilidad de que los saltos en dos puntos, uno al lado del otro son más grandes que 1, converge a 0.(Sólo he de probar a mí mismo para las particiones de igual longitud, pero supongo que sostiene que en el caso general). Puede esta propiedad se extiende a todo el recorrido de la muestra?, así que cuando los cambios en la función de valor, lo hace mediante el aumento de su valor a 1. (como)

Así que en resumen: Si usted mira la finitos tridimensional de la distribución de un proceso de Poisson, donde nos fijamos en los puntos cercanos unos de otros, usted tiene que con probabilidad 1 es creciente, y los saltos son entero -valorados. Y tiene con una probabilidad cercana a 1(dependiendo de la partición) que los saltos son de valor 1. Pueden estas propiedades, de alguna manera, extendido a la totalidad de la muestra de la ruta?.

Answer 1

Deje $(X_t)_{t \geq 0}$ ser un proceso de Poisson con intensidad $\lambda$.

Paso 1: $(X_t)_{t \geq 0}$ tiene casi seguramente el aumento de la muestra caminos.

Prueba: Fix $s \leq t$. Desde $(X_t)_{t \geq 0}$ tiene incrementos estacionarios y $X_{t-s}$ es de Poisson distribuidos, que se han

$$\mathbb{P}(X_s>X_t) = \mathbb{P}(X_t-X_s < 0) = \mathbb{P}(X_{t-s}<0)=0,$$

es decir, $X_s \leq X_t$ casi seguramente. Como $\mathbb{Q}_+$ es contable, esto implica

$$\mathbb{P}(\forall q \leq r, q,r \in \mathbb{Q}_+: X_q \leq X_r)=1.$$

Desde $(X_t)_{t \geq 0}$ ha càdlàg muestra las rutas, esto ya implica

$$\mathbb{P}(\forall s \leq t: X_s \leq X_t)= 1.$$

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Paso 2: $(X_t)_{t \geq 0}$ tarda casi seguramente sólo valores enteros.

Tenemos $\mathbb{P}(X_q \in \mathbb{N}_0)=1$ todos los $q \in \mathbb{Q}_+$. Por lo tanto, $\mathbb{P}(\forall q \in \mathbb{Q}_+: X_q \in \mathbb{N}_0)=1$. Como $(X_t)_{t \geq 0}$ ha càdlàg muestra caminos, obtenemos

$$\mathbb{P}(\forall t \geq 0: X_t \in \mathbb{N}_0)=1.$$

(Tenga en cuenta que$\Omega \backslash \{\forall t \geq 0: X_t \in \mathbb{N}_0\} \subseteq \{\exists q \in \mathbb{Q}_+: X_q \notin \mathbb{N}_0$, y que el último es un $\mathbb{P}$-null.)

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Paso 3: $(X_t)_{t \geq 0}$ tiene casi seguramente de valor entero salto de altura.

Ya sabemos desde el paso 1 y 2 que existe un conjunto null $N$ tal que $X_t(\omega) \in \mathbb{N}_0$ $t \mapsto X_t(\omega)$ es no decreciente para todos los $\omega \in \Omega \backslash N$. En consecuencia, hemos

$$X_t(\omega) - X_s(\omega) \in \mathbb{N}_0$$

para cualquier $t \geq s$$\omega \in \Omega \backslash N$. Por otro lado, sabemos que el límite de

$$\lim_{t \downarrow s} (X_t(\omega)-X_s(\omega)) = \Delta X_s(\omega) $$

existe. Peinado ambas consideraciones rendimientos $\Delta X_s(\omega) \in \mathbb{N}_0$. (Compruebe que la siguiente afirmación es verdadera: Si $(a_n)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq \mathbb{N}_0$ y el límite de $a:=\lim_n a_n$ existe,$a \in \mathbb{N}_0$.) Ya que esto es válido para cualquier $s \geq 0$, obtenemos

$$\Delta X_s(\omega) \in \mathbb{N}_0 \qquad \text{for all $\omega \en \Omega \barra invertida N$, $s \geq 0$},$$

es decir, $$\mathbb{P}(\forall s \geq 0: \Delta X_s \in \mathbb{N}_0)=1.$$

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Paso 4: $(X_t)_{t \geq 0}$ tiene casi seguramente saltos de altura $1$.

Por el paso 3, es suficiente para mostrar que $\mathbb{P}(\exists t \geq 0: \Delta X_t \geq 2)=0.$$

Desde el contable de la unión de null conjuntos es un conjunto null, basta para mostrar

$$p(T) := \mathbb{P}(\exists t \in [0,T]: \Delta X_t \geq 2)=0$$

para todos los $T>0$. Para este fin, en primer lugar tenga en cuenta que

$$\{\exists t \in [0,T]: \Delta X_t \geq 2) \subseteq \bigcup_{j=1}^{kT} \{X_{\frac{j}{k}}-X_{\frac{j-1}{k}} \geq 2\}$$

para todos los $k \in \mathbb{N}$. El uso que los incrementos de $X_{\frac{j}{k}}-X_{\frac{j-1}{k}}$ son independientes de Poisson distribuido variables aleatorias con el parámetro $\lambda/k$, obtenemos

$$\begin{align*} p(T) &\leq \sum_{j=1}^{kT} \mathbb{P}(X_{\frac{j}{k}}-X_{\frac{j-1}{k}} \geq 2) \\ &= kT \mathbb{P}(X_{\frac{1}{k}} \geq 2) = kT \left(1-e^{-\lambda/k} \left[1+\frac{\lambda}{k} \right]\right) \\ &= \lambda T \frac{1-e^{-\lambda/k} \left(1+\frac{\lambda}{k} \right)}{\frac{\lambda}{k}} \end{align*}$$

Dejando $k \to \infty$, nos encontramos con

$$p(T) \leq \lambda T \frac{d}{dx} (-e^{-x}(1+x)) \bigg|_{x=0} = 0.$$