en la Nube

Question

Quiero evaluar el siguiente límite: $$\lim_{s \to 1}\; \Gamma \left( \frac{1-s}{2} \right) (s-1).$$ Sé que la función gamma sencilla pol $-n$ $n \in \mathbb{N}_0$ con residuo $\frac{(-1)^n}{n!}$. Además, sé que si una función $f$ tiene una simple poste de $a$,$\operatorname{Res}_a f= \lim_{z \to a} (z-a) f(z)$. Si $\Gamma(z)$ tiene una simple poste de $z=0$, $\Gamma (\frac{1-s}{2})$ tiene un polo en $s=1$. Si se trataba de un simple polo, el límite sería $-1$, sin embargo, wolframalpha me dice que el límite debe ser $-2$ y en el contexto que estoy usando este límite, $-2$ debe ser el resultado correcto.

¿De dónde me equivoco? Gracias por la ayuda por adelantado.

Answer 1

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Answer 2

La existencia de un polo de$\Gamma$ at$0$ se puede traducir como el hecho de que$z\Gamma(z)\to1$ cuando$z\to0$. Por lo tanto$\frac{1-s}2\Gamma\left(\frac{1-s}2\right)\to1$ cuando$s\to1$, es decir,$(s-1)\Gamma\left(\frac{1-s}2\right)\to-2$.

Su error podría ser confundir$\frac{1-s}2\Gamma\left(\frac{1-s}2\right)$ y$(s-1)\Gamma\left(\frac{1-s}2\right)$.