Estoy tratando de encontrar una forma cerrada para esta integral: $$\int_{0}^{\infty}x^{-x}dx$$
Aquí está la gráfica del integrando:
Es evidente que es convergente. Mi intento es obtener una forma cerrada para el área bajo la curva. ¿Es esto posible?
Es muy poco probable que puedas encontrar una expresión de forma cerrada para tu integral. Sin embargo, hay dos variantes especiales de tu integral que son bastante infames, como la "El sueño de un estudiante de segundo año" integrales. Son las integrales $$\int_0^1 x^{x} dx$$ y $$\int_0^1 x^{-x} dx$$ Y, hasta ahora, no se ha obtenido ninguna forma cerrada para ninguna de ellas. Sin embargo, su integral $$\int_0^\infty x^{-x} dx$$ Converge increíblemente rápidamente, incluso más que una función exponencial, por lo que se puede obtener una muy buena aproximación con bastante rapidez. Wolfram Alpha proporciona la aproximación $$\int_0^\infty x^{-x} dx\approx 1.99545595750014...$$ Y así $2$ debería ser una aproximación suficientemente buena. Incluso el calculadora simbólica inversa no da nada para la aproximación dada por WA, por lo que dudo que tenga algún tipo de forma cerrada utilizando las funciones elementales o cualquier otra constante conocida.
Se puede aproximar el resto en mayor medida utilizando el Fórmula de Euler-Maclaurin que rápidamente relaciona la integral dada con el sueño de Sophomore.
No es tan extraño si se tiene en cuenta cuántas de estas integrales de aspecto sencillo se pueden construir definiendo operaciones arbitrarias como la tetración. Algunas de ellas están obligadas a estar cerca de los números enteros. Hasta donde yo sé, no hay ningún significado físico real de $x^{-x}$ o de esta integral.
Tenemos la siguiente aproximación:
Dejemos que $S$ ser uno de los sueños de los Sophomore:
$$S=\int_0^1x^{-x}~\mathrm dx=\sum_{n=1}^\infty n^{-n}$$
Entonces tenemos la integral $I$ en cuestión,
$$I=\int_0^\infty x^{-x}~\mathrm dx=S+\int_1^\infty x^{-x}~\mathrm dx$$
La segunda integral tiene una aproximación de suma trapezoidal rápida:
$$\int_1^\infty x^{-x}~\mathrm dx\approx-\frac12+\sum_{n=1}^\infty n^{-n}$$
Así, tenemos
$$I\approx2S-\frac12=2.08257$$
El error es aproximadamente $0.08711$
$\int\limits_0^\infty x^{-x}dx=\int\limits_0^1 x^{-x}dx+\int\limits_0^1 x^{-2+1/x}dx$
La segunda integral es desagradable para desarrollarse en una serie.
Pero si podemos usar la solución $\,z_0\,$ para $\,\int\limits_0^1 (x^{xz} - x^{-2+1/x})dx=0$
con $\,z=z_0\approx 1.45354007846425$ entonces obtenemos..:
$$\displaystyle \int\limits_0^\infty x^{-x}dx=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1+(-z_0)^{n-1}}{n^n}$$
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Eso depende de su concepto de forma cerrada . Es $$\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^n}$$ considerado como un forma cerrada ?
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@JackD'Aurizio No, eso no es ciertamente una forma cerrada. es.wikipedia.org/wiki/Expresión de forma cerrada
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Entonces supongo que no es posible, pero numéricamente su integral es extremadamente cercana a $2$ .
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Se podría considerar una constante. De lo contrario, $\pi$ no sería de forma cerrada ya que todos los métodos para calcularlo son expansiones de series no finitas.
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@mathreadler Si uno tomara finitamente muchas funciones elementales y sus inversas con argumentos racionales, uno podría hacer $\pi$ utilizando la trigonometría.
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La primera respuesta de Jack es probablemente la más cercana que obtendrá ... ver es.wikipedia.org/wiki/Sobreviviente%27s_sueño
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@Donald observa que este es un caso diferente porque el rango de integración es diferente.
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@DonaldSplutterwit: efectivamente este no es el clásico el sueño de un estudiante de segundo año problema pero se reduce a una serie similar a $\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^n}$ dividiendo el rango de integración como $(0,1)\cup[1,+\infty)$ y aplicando manipulaciones sencillas.
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Gracias por señalarlo... Yo había asumido que era sólo el clásico sueño de Sophomore ... hay un poco más.
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@SimplyBeautifulArt ¿entonces qué funciones se consideran elementales? Ciertamente si se considera elemental la trigonométrica y sus inversas se puede expresar $\pi$ en forma cerrada, pero entonces te escapas por diseño. Si considero una función más relacionada con la constante que quiero expresar como elemental entonces me escaparía diciendo que tiene una forma cerrada.
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@mathreadler Generalmente, funciones elementales se refiere a las funciones algebraicas, las funciones exponenciales, las funciones trigonométricas y sus inversas.
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@SimplyBeautifulArt: Sí, ya sé que a menudo se consideran así, pero no sé por qué es natural considerarlas elementales mientras que otras muchas funciones no algebraicas no lo son.
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@mathreadler ¿Y tu punto aquí...?
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Era más una pregunta curiosa que un punto.
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Tenemos $$\int_{0}^{+\infty}x^{-x}\,dx = \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^n}+\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{(1+W(x))e^x}$$ con $W$ siendo la función de Lambert.
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$e^{-x} = 1/(e^{-x\log(x)})$