Estaba estudiando el Principio del Análisis Matemático de Rudin. En su construcción de los reales hay una parte que me cuesta comprender. Se refiere a la inversa aditiva de los reales.
Entiendo que para un número real $\alpha$ que es un corte, la inversa aditiva viene dada por el corte $\beta$ - que es el conjunto de todos los números racionales $p$ con la propiedad de que , existe un racional $r > 0$ tal que $-p-r \notin \alpha $ .
Ahora tenemos que demostrar que $\alpha + \beta$ es realmente $0$ .
Para ello necesitamos demostrar que el corte dado por $\alpha + \beta$ es un subconjunto del corte dado por $0$ y el corte dado por $0$ es un subconjunto de $\alpha + \beta$ .
Tengo problemas para entender la prueba de la segunda parte, es decir, el corte dado por $0$ es un subconjunto de $\alpha + \beta$ .
Como es habitual denotemos el corte que representa el real $0$ como $0^*$ .
Así es como Ruding aborda la prueba :-
Elige una racional $v \in 0^*$ poner $w = -v/2$ . Entonces , $w>0$ y existe un número entero $n$ tal que $nw \in \alpha$ pero $(n+1)w \notin \alpha$ . Esta es la afirmación que me cuesta demostrar con rigor.
Rudin afirma que esto se deduce del hecho de que $\mathbb Q$ tiene la propiedad de Arquímedes. Ahora me doy cuenta de que $\mathbb Q$ tiene la propiedad arquimediana y que puede demostrarse sin recurrir a una propiedad de cota mínima superior que $\mathbb Q$ llamativamente carece.
Pero soy incapaz de probar la existencia de $n$ rigurosamente. Tengo problemas para hacerlo porque el conjunto de los racionales(corte) $\alpha$ no tiene un elemento mayor.
Así es como podría proceder :- Consideremos el conjunto de los números enteros(llamémoslo $I$ ), $m$ tal que $mw \in \alpha$ . Este conjunto no es vacío. Como sabemos $\alpha$ es no vacío y por lo tanto tiene al menos un dicho racional $q$ . Ahora bien $\mathbb Q$ tiene la propiedad arquimediana existe un número entero $m_1$ tal que $m_1 w < q $ . Por tanto, el conjunto de enteros $I$ es no vacío. Del mismo modo, podemos demostrar que el conjunto $I$ está acotada por encima. Porque $\alpha$ está acotada por encima. El mayor elemento de $I$ es el $n$ estamos buscando. Y $(n+1) w$ no estará en $\alpha$ .
¿Está bien mi prueba? Tengo dudas al respecto.
