La ruina del jugador (cálculo de probabilidades tiempo de golpe)

Question

Im destinado a producir la matriz de transición que ya he hecho (en la imagen) y la lista de las clases de comunicación. Pero no estoy seguro de cómo encontrar la probabilidad con respecto a los tiempos de golpe (ver pregunta). ¿Alguna sugerencia?

Salud.

Answer 1

HINT :

Dejemos que $\pi_i = \mathbb{P}\left(\tau_N < \tau_0 \vert X_0 = i \right)$ entonces $\pi_0 = 0$ y $\pi_N = 1$ . Condicionando la primera transición obtenemos $\pi_i = \pi_{i-1} (1-p) + \pi_{i+1} p$ . Ahora resuelve esta ecuación de recurrencia.

Answer 2

Palabra clave: martingala .

Arreglar $a\ne0$ y considerar $M_n=a^{X_n}$ por cada $n\geqslant0$ . Entonces, mientras $1\leqslant M_n\leqslant N-1$ , $M_{n+1}=M_n\cdot a$ con probabilidad $p$ y $M_{n+1}=M_n\cdot a^{-1}$ con probabilidad $q=1-p$ . Supongamos que $pa+qa^{-1}=1$ entonces $(M_n)_{n\geqslant0}$ es una martingala acotada (llamada La martingala de Moivre ) por lo tanto $\mathrm E(M_T)=\mathrm E(M_0)$ por cada tiempo de parada $T$ . Si $T=\inf\{\tau_0,\tau_N\}$ , $M_T=a^N$ en $[\tau_N<\tau_0]$ y $M_T=1$ en $[\tau_0<\tau_N]$ Por lo tanto $$ \mathrm E(M_T)=\mathrm P(\tau_N<\tau_0)\cdot a^N+1-\mathrm P(\tau_N<\tau_0). $$ Desde $M_0=a^i$ esto da como resultado $\mathrm P(\tau_N<\tau_0)=\dfrac{1-a^i}{1-a^N}$ si $a\ne1$ . Queda por calcular $a$ . Desde $pa^2-a+q=0$ , $a=q/p$ hará para cada $p\ne1/2$ , en cuyo caso se obtiene $$ \mathrm P(\tau_N<\tau_0\mid X_0=i)=\dfrac{1-(q/p)^i}{1-(q/p)^N}. $$ Si $p=1/2$ cualquiera de los dos toma el límite cuando $p\to1/2$ de la fórmula anterior o se observa que, en este caso, $M_n=X_n$ define una martingala, a la que se puede aplicar el teorema del tiempo de parada. Ambos métodos dan como resultado $$ \mathrm P(\tau_N<\tau_0\mid X_0=i)=\frac{i}N. $$