$f(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}) \subseteq \mathbb{Q}$ y$f(\mathbb{Q}) \subseteq \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ implican que$f$ no es continuo

Question

Posibles Duplicados:
Ninguna función continua que cambia el $\mathbb{Q}$ y el irrationals

Deje $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ser función de la satisfacción de las dos condiciones: $f(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}) \subseteq \mathbb{Q}$$f(\mathbb{Q}) \subseteq \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$. A continuación,

Mostrar que $f$ no puede ser continua.

Estoy tratando este problema durante algún tiempo, pero no puede hacer cualquier tipo de progreso. Agradezco cualquier ayuda. Incluso algunos buenos consejos va a hacer. Saludos.

Answer 1

Sugerencia: Las condiciones implican que el rango de$f$ es contable y que$f$ no es constante.

Answer 2

Si$f$ es continuo tenemos que$f(\mathbb{R})$ es un intervalo. Así,$f(\mathbb{R})$ es incontable. Por otro lado, tenemos \begin{equation} f(\mathbb{R}) \subset f(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}) \cup f(\mathbb{Q}) \end {equation} Así que$f(\mathbb{R})$ es contable como finito de unión de contables. Contradicción.