$G$ es un grupo y $H$ es un subgrupo de $G$ tal que $\forall a, b$$G, ab\in H\implies ba\in H$. Mostrar que $H$ es normal en $G$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Su objetivo es mostrar a $xH=Hx$ todos los $x\in G$, por lo que debe mostrar el conjunto de contención en ambos sentidos.
Supongamos $y \in xH$. Esto significa que existe una $h \in H$ tal que $y=xh$. Observe que $x^{-1}y=h \in H$. Ahora invocar su hipótesis. Voy a dejar que termine de allí.
Tenga cuidado sin embargo. Si $ab=h_1 \in H$, entonces usted sabe $ba \in H$. Esto no quiere decir $ba=h_1$, pero sólo eso $ba$ es algún elemento de $H$ (que podría ser un elemento diferente).
Deje $G$ ser un grupo, y vamos a $H$ ser un subgrupo. En analogía con la definición de congruencia de los enteros, $a\equiv b\pmod{m}$ si y sólo si $m|a-b$, si y sólo si $a-b\in\langle m\rangle$, definir:
- $a$ es congruente a la izquierda modulo $H$ a $b$, $a\mathrel{{}_H{\equiv}} b$, si y sólo si $a^{-1}b\in H$.
- $a$ es congruente a la derecha del modulo $H$ a $b$, $a\mathrel{\equiv_H} b$, si y sólo si $ab^{-1}\in H$.
La proposición. Tanto en $\mathrel{\equiv_H}$ $\mathrel{{}_H{\equiv}}$ son las relaciones de equivalencia en $G$.
Teorema. Deje $G$ ser un grupo, y vamos a $H$ ser un subgrupo de $G$. Los siguientes son equivalentes:
- Para todos los $a\in G$ existe $b\in G$ tal que $aH=Hb$; es decir, todos a la izquierda coset de $H$ es también un derecho coset de $H$.
- Para todos $a\in G$, $aH = Ha$.
- Para todos $a\in G$, $a^{-1}Ha=H$.
- Para todos $a\in G$, $a^{-1}Ha\subseteq H$.
- Para todos $a,b\in G$, $a\mathrel{\equiv_H}b$ si y sólo si $a\mathrel{{}_H{\equiv}} b$; es decir, la congruencia de la izquierda modulo $H$ y congruencia en el derecho modulo $H$ son la misma relación de equivalencia en $G$.
- Si $aH=bH$$xH=yH$, $axH=byH$ (multiplicación de la izquierda cosets está bien definido).
- Si $Ha = Hb$$Hx = Hy$, $Hab = Hxy$ (multiplicación de derecho cosets está bien definido).
Si usted demostrar este teorema (puede que desee; es un buen ejercicio y te da otras formas de comprobación de que un grupo es normal), entonces la condición 5 le da el resultado: $$\begin{align*} a\mathrel{{}_H{\equiv}} b &\iff a^{-1}b\in H\\ &\iff ba^{-1}\in H\\ &\iff b\mathrel{\equiv_H} a\\ &\iff a\mathrel{\equiv_H} b \end{align*} $$