5 votos

La normalidad de los subgrupos

$G$ es un grupo y $H$ es un subgrupo de $G$ tal que $\forall a, b$$G, ab\in H\implies ba\in H$. Mostrar que $H$ es normal en $G$

11voto

Bill Cook Puntos 17167

Su objetivo es mostrar a $xH=Hx$ todos los $x\in G$, por lo que debe mostrar el conjunto de contención en ambos sentidos.

Supongamos $y \in xH$. Esto significa que existe una $h \in H$ tal que $y=xh$. Observe que $x^{-1}y=h \in H$. Ahora invocar su hipótesis. Voy a dejar que termine de allí.

Tenga cuidado sin embargo. Si $ab=h_1 \in H$, entonces usted sabe $ba \in H$. Esto no quiere decir $ba=h_1$, pero sólo eso $ba$ es algún elemento de $H$ (que podría ser un elemento diferente).

5voto

Lorin Hochstein Puntos 11816

Deje $G$ ser un grupo, y vamos a $H$ ser un subgrupo. En analogía con la definición de congruencia de los enteros, $a\equiv b\pmod{m}$ si y sólo si $m|a-b$, si y sólo si $a-b\in\langle m\rangle$, definir:

  • $a$ es congruente a la izquierda modulo $H$ a $b$, $a\mathrel{{}_H{\equiv}} b$, si y sólo si $a^{-1}b\in H$.
  • $a$ es congruente a la derecha del modulo $H$ a $b$, $a\mathrel{\equiv_H} b$, si y sólo si $ab^{-1}\in H$.

La proposición. Tanto en $\mathrel{\equiv_H}$ $\mathrel{{}_H{\equiv}}$ son las relaciones de equivalencia en $G$.

Teorema. Deje $G$ ser un grupo, y vamos a $H$ ser un subgrupo de $G$. Los siguientes son equivalentes:

  1. Para todos los $a\in G$ existe $b\in G$ tal que $aH=Hb$; es decir, todos a la izquierda coset de $H$ es también un derecho coset de $H$.
  2. Para todos $a\in G$, $aH = Ha$.
  3. Para todos $a\in G$, $a^{-1}Ha=H$.
  4. Para todos $a\in G$, $a^{-1}Ha\subseteq H$.
  5. Para todos $a,b\in G$, $a\mathrel{\equiv_H}b$ si y sólo si $a\mathrel{{}_H{\equiv}} b$; es decir, la congruencia de la izquierda modulo $H$ y congruencia en el derecho modulo $H$ son la misma relación de equivalencia en $G$.
  6. Si $aH=bH$$xH=yH$, $axH=byH$ (multiplicación de la izquierda cosets está bien definido).
  7. Si $Ha = Hb$$Hx = Hy$, $Hab = Hxy$ (multiplicación de derecho cosets está bien definido).

Si usted demostrar este teorema (puede que desee; es un buen ejercicio y te da otras formas de comprobación de que un grupo es normal), entonces la condición 5 le da el resultado: $$\begin{align*} a\mathrel{{}_H{\equiv}} b &\iff a^{-1}b\in H\\ &\iff ba^{-1}\in H\\ &\iff b\mathrel{\equiv_H} a\\ &\iff a\mathrel{\equiv_H} b \end{align*} $$

0voto

Sugata Adhya Puntos 2491

Elija $x\in G$ $h\in H.$ Deje $a=x^{-1}.$

Supongamos $ha=b.$

A continuación, $ba^{-1}=h$

$\implies a^{-1}b=h_1$ algunos $h_1\in H$ (por la condición dada)

$\implies b=ah_1$

$\implies ha=ah_1$

$\implies a^{-1}ha=h_1\in H$

$\implies xhx^{-1}\in H.$

En consecuencia, $H\triangleleft G.$

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X