Demostrar que una relación es asimétrica.

Question

Demostrar que si una relación no vacía $R$ en $A$ es transitiva e irreflexiva, entonces es asimétrica.

Supongo que tendré que demostrarlo por contradicción, pero me cuesta hacerme a la idea. Si una relación es transitiva e irreflexiva, ¿no sería también simétrica?

Answer 1

Supongamos por contradicción que podemos encontrar $x,y \in A$ tal que $(x,y) \in R$ y $(y,x) \in R$ . Entonces por transitividad, $(x,x) \in R$ , contradiciendo la irreflexividad.

Editar. Por cierto, si esto te sigue pareciendo misterioso, intenta visualizarlo de la siguiente manera. Considera dos puntos $x$ y $y$ y una flecha que va $x \rightarrow y$ y otro $y \rightarrow x$ . Utilice la transitividad para deducir que debe haber un bucle en $x$ . Pero la irreflexividad básicamente dice: "no hay bucles".