Complejo de número de $i^{{i^{i^{.^{.^.}}}}}$

Question

Si $A+iB=i^{{i^{i^{.^{.^.}}}}}$

Principales valores sólo se consideran, Demostrar que

(a)tan a $ \frac {\pi}{2} $A= $\frac{B}{A}$

(b) $A^2 + B^2 = e^{-\pi B}$

He probado el concepto A+iB= $y=i^y$

$i= e^{ \frac{i\pi}{2}}$

$\ln(A+iB)=i \frac{\pi}{2}$(A+iB)

Después de este paso no podremos seguir adelante

Answer 1

Cualquiera que sea el valor de $x = i^{i^{i^\cdots}}$ (si es que existe), debe satisfacer la ecuación $$ x = i^x. $$ Pero ¿cuál es la definición de $i^x$ ? Ya que es ambigua, se debe aflojar la restricción aún más: Cualquiera que sea el valor de $x$, se debe satisfacer $$ x = e^{x \log i} \text{ para } \textit{algunas de} \text{ valor } \log i $$ Ahora, el conjunto de los logaritmos de $i$ (el conjunto de $y$ tal que $e^y = i$)$\{2 \pi i k + \tfrac{\pi i}{2} \}_{k \in \mathbb{Z}}$. Así que nuestra condición es ahora $$ x = \exp\left(2 \pi i k x + \frac{\pi i}{2} x\right) \etiqueta{1} $$

Dejando $x = A + Bi$, obtenemos \begin{align*} A + Bi &= \exp\left[ (A + Bi)\left(2 \pi i k x + \frac{\pi i}{2} x\right)\right] \\ &= \exp\left[ (-B + Ai)\left(2 \pi k + \frac{\pi}{2} \right)\right] \\ &= \underbrace{\exp\left[ (-B)\left(2 \pi k + \frac{\pi}{2} \right)\right]}_{\text{magnitude}} \underbrace{\exp\left[ A \left(2 \pi k + \frac{\pi}{2} \right) i \right]}_{\text{direction}} \\ \end{align*} Comparar la magnitud al cuadrado de los dos lados y la pendiente (tangente del ángulo) de ambos lados. Para la magnitud al cuadrado, se obtiene: $$ A^2 + B^2 = e^{- \pi B + 4 \pi k B}. \etiqueta{2} $$ Para la tangente del ángulo obtenemos $$ \frac{B}{A} = \tan \left((2 \pi k + \pi / 2)\right). \etiqueta{3} $$

Los resultados que desea seguir a partir de (2) y (3) si asumimos $k = 0$. Esto corresponde a la toma de la principal en la definición de logaritmo $i^x$. Para $k = 0$: \begin{align*} A^2 + B^2 &= e^{- \pi B} \\ \frac{B}{A} &= \tan \left(\pi A / 2\right) \end{align*}

Answer 2

Suponga que la heurística declaración "$A+iB=i^{i\,\cdots \text{infinity times}}$" como está escrito en el OP es rigurosamente descrito por el límite, si existe, de la ecuación

$$\begin{align} z_{n+1}&=i^{z_n}\\\\ &=e^{z_n\log(i)}\\\\ &=e^{i\pi z_n/2}\\\\ \end{align}$$

sujeto a la condición inicial $z_0=i$.

Si $\lim_{n\to \infty}z_n=A+iB$ existe, entonces

$$\begin{align} A+iB&=e^{i\pi (A+iB)/2}\\\\ &=e^{-\pi B/2}\cos(\pi A/2)+ie^{-\pi B/2}\sin(\pi A/2)\tag1 \end{align}$$

Tomando el módulo en ambos lados de $(1)$, obtenemos

$$A^2+B^2=e^{-\pi B}$$

Tomando la relación de lo imaginario y real de las piezas de ambos lados de $(1)$, obtenemos

$$\frac{B}{A}=\tan(\pi A/2)$$