Conmutativa anillo en el que cada función es de un tipo especial

Question

Deje $R$ ser un anillo conmutativo con unidad, que es un sub-anillo de un anillo conmutativo $S$ con la misma unidad que la de $R$ . Supongamos que para cada función se $f:R \to R , \exists \hat f(X) \in S[X]$ tal que $f(r)=\hat f(r) , \forall r \in R$ ; a continuación, se $R$ de un número finito de anillo ?

Por favor, ayudar . Gracias de antemano

Answer 1

Sí, $R$ debe ser finito.

Yo reclamo más general, que si $R\subset S$ son anillos de tal forma que cada elemento no nulo de a $R$ tiene una inversa en $S$, entonces un polinomio con coeficientes en $S$ que se desvanece en una infinidad de elementos de $R$ debe desaparecer de forma idéntica. Para demostrarlo, supongamos que $$ f(x)=\sum_{i=0}^d a_i x^i\S[x] $$ se desvanece en $r_0,\ldots,r_d\in R$. Deje $M\in M_{d+1}(R)$ ser la matriz de Vandermonde cuyas $(i,j)$ entrada $0\leq i,j\leq d$$r_i^j$, y escribir $v\in S^{d+1}$ para el vector $[a_0,a_1,\ldots,a_d]^T$. La hipótesis de $f(r_i)=0$ todos los $i$ implica $Mv=\vec{0}$. El determinante de a $M$ es un producto de pares de diferencias de la $r_i$, por lo que el factor determinante es invertible en a $S$. Esto significa que la matriz $M$ es invertible en a $S$, por lo que debemos tener $v=\vec{0}$, es decir,$f=0$.