Tengo que probar si esta afirmación es verdadera, algunas ideas?
$$\int_0^1 \frac{\cosh\left(\alpha \cos ^{-1}x\right)\cos \left( \alpha \sinh^{-1} x \right)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \frac \pi 4 + \frac 1 {2\alpha }\cdot \sinh \frac{\alpha \pi } 2$$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Roger Hoover
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Oh, creo que me he encontrado con una desagradable truco. Si denotamos la integral en el lado izquierdo como $I(\alpha)$, no debería ser difícil para comprobar que $f(\alpha)=I(\alpha)$ es una función de la variable compleja $\alpha$, y no debería ser difícil de probar que su orden es $1$. $f(0)=\frac{\pi}{2}$ es trivial y $f(z)=\frac{\pi}{4}$ cualquier $z\in 2i\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ sólo un poco menos. $f'(0)=0$ desde $f$ es una función par, y $$ f''(0)=\int_{0}^{1}\frac{\arccos(x)^2-\text{arcsinh}(x)^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx =\frac{\pi^3}{24}-\int_{0}^{\pi/2}\text{arcsinh}^2(\sin\theta)\,d\theta$$ es igual a: $$ \frac{\pi^3}{24}-\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\sum_{n\geq 1}\frac{4^n (-1)^{n+1}(\sin\theta)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}\,d\theta=\frac{\pi^3}{24}-\frac{\pi^3}{48}=\frac{\pi^3}{48} $$ por la serie de Taylor de los cuadrados de las arcoseno y el conocido $\int_{0}^{\pi/2}(\sin\theta)^{2n}\,d\theta=\frac{\pi}{2\cdot 4^n}\binom{2n}{n}$, $\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}=\frac{\pi^2}{12}$. Así, la larga historia corta, si logramos demostrar que $f(z)-\tfrac{\pi}{4}$ sólo se desvanece en $2i\mathbb{Z}\setminus\{0\}$, la demanda de la siguiente manera a partir de la Weierstrass producto de la función seno y Herglotz' truco. Como alternativa, podemos intentar calcular cada valor de $f^{(2k)}(0)$, pero que parece difícil a primera vista.
Como segunda alternativa, que sólo puede mostrar que, mediante la integración por partes, $f(\alpha)-\tfrac{\pi}{4}$ es la solución de una ecuación diferencial de la forma $ z\cdot g(z) = \frac{\pi^2}{4}\left(\frac{d^2}{dz^2} z\,g(z)\right)$, luego de probar la declaración mediante la invocación de la unicidad parte de la de Cauchy-Lipschitz el Teorema.
