Hay un patrón a los signos de las normas de la cuadrática unidades fundamentales?

Question

Deje $K$ ser el cuadrática campo $\mathbb{Q}(\sqrt d)$ donde $d\in\mathbb{N}_{\geq1}$ es la plaza libre, y deje $\mathbb{Z}_K$ ser el anillo de enteros de $K$. Definir la unidad fundamental de $\mathbb{Z}_K$ como mínimo invertible elemento de $\mathbb{Z}_K$ mayor que $1$.

Podemos necesariamente escribir esta unidad fundamental como $a+b\sqrt d$ donde $a,b\in\mathbb{Q}^+$. Entonces, puesto que es invertible, su campo de norma $a^2-db^2$ es $\pm1$. Aquí es lo que el signo de esta norma termina siendo para el primer grupo de los valores de $d$.

$2$ $-$
$3$ $+$
$5$ $-$
$6$ $+$
$7$ $+$
$10$ $-$
$11$ $+$
$13$ $-$
$14$ $+$
$15$ $+$
$17$ $-$
$19$ $+$
$21$ $+$
$22$ $+$
$23$ $+$
$26$ $-$
$29$ $-$
$30$ $+$

Dado $d$, hay una manera de decirle lo que este signo será, de la computación de la unidad fundamental y de su producto con su conjugación? También tengo curiosidad por lo que los conceptos más avanzados de este signo puede estar relacionado con el.

Answer 1

Introductorio de la Teoría Algebraica de números por Alaca & Williams aborda esta en un buen nivel de detalle en el Capítulo 11.

• Teorema de 11.5.4: dado el primer $d \equiv 1 \pmod 4$, la unidad fundamental de la norma ha $-1$. por ejemplo,, $d = 5$, $N(\phi) = -1$.
• Teorema de 11.5.5: si $d$ es divisible por algunos de los mejores $p \equiv 3 \pmod 4$, la unidad fundamental tiene norma 1. por ejemplo, $N(2 + \sqrt 3) = N(5 + 2 \sqrt 6) = 1$.
• Teorema de 11.5.6: si $d = 2p$$p \equiv 5 \pmod 8$, la unidad fundamental de la norma ha $-1$. por ejemplo, $N(3 + \sqrt{10}) = N(5 + \sqrt{26}) = -1$.
• Teorema de 11.5.7: si $d = pq$ con distintos números primos $p \equiv q \equiv 1 \pmod 4$ y $$\left(\frac{p}{q}\right) = \left(\frac{q}{p}\right) = -1$$ (I know that by quadratic reciprocity that's a bit redundant) then the fundamental unit has norm $-1$. e.g., $N(8 + \sqrt{65}) = -1$.

Estos son de mis notas, no directamente desde el libro; esperemos que no he cometido algún error de transcripción. No recuerdo si es que dicen algo acerca de la $d$ no cubierto por estas cuatro teoremas. Las pruebas se incluyen para todos los cuatro de ellos, creo que uno o dos de ellos se da en más de una prueba.

Answer 2

Hay algunos resultados parciales; si $d\equiv3\pmod 4$, la fundamental la unidad tiene norma $+1$. Lo mismo es cierto si $d$ tiene un factor positivo congruentes a $3$ modulo $4$. La prueba está trabajando modulo $4$.

Por otro lado, si $d=p\equiv1\pmod 4$ es un número primo, entonces el fundamental la unidad tiene norma $-1$. Para probar esto se puede demostrar que si $\varepsilon>0$ es una unidad de norma $1$ $K=\Bbb Q(\sqrt d)$ $\sqrt{\varepsilon}\in K$ también.

Las cosas se ponen más complicadas cuando hay más factores primos. Si $d=pq$ donde $p$ $q$ son primos $\equiv1\pmod 4$ uno puede tener tanto $+1$ $-1$ como la norma de la unidad fundamental.