Multiplicación con $\binom{n}{k}$ da
\begin{align*}
\sum_{i=2}^{n-k+1}\binom{n-i}{k-1}\frac{1}{i-1}&=\binom{n}{k}\frac{k}{n}\sum_{i=k+1}^n\frac{1}{i-1}\tag{1}\\
&=\binom{n-1}{k-1}\left(H_{n-1}-H_{k-1}\right)
\end{align*}
En (1) se aplica el binomio identidad $\binom{n}{k}=\frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1}$ y la definición de la Armónica de los números de $H_n=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}$.
Cambiando el índice de $i$ por que se da
\begin{align*}
\sum_{i=1}^{n-k}\binom{n-i-1}{k-1}\frac{1}{i}=\binom{n-1}{k-1}\left(H_{n-1}-H_{k-1}\right)
\end{align*}
Sustituyendo $n \rightarrow n+1$ $k \rightarrow k+1$ da algo más representación conveniente
\begin{align*}
\sum_{i=1}^{n-k}\binom{n-i}{k}\frac{1}{i}=\binom{n}{k}\left(H_n-H_k\right)\tag{2}
\end{align*}
Transformamos el lado izquierdo y obtener
\begin{align*}
\sum_{i=1}^{n-k}\binom{n-i}{k}\frac{1}{i}&=\sum_{i=0}^{n-k-1}\binom{n-i-1}{k}\frac{1}{i+1}&\qquad(i\rightarrow i-1)\\
&=\sum_{i=0}^{n-k-1}\binom{k+i}{k}\frac{1}{n-k-i}&\qquad(i\rightarrow n-k-1-i)\\
&=\sum_{i=k}^{n-1}\binom{i}{k}\frac{1}{n-i}&\qquad(i\rightarrow i+k)
\end{align*}
La identidad (2) ahora puede ser escrito como
\begin{align*}
\color{blue}{\sum_{i=k}^{n-1}\binom{i}{k}\frac{1}{n-i}=\binom{n}{k}\left(H_n-H_k\right)}\tag{3}
\end{align*}
Se demuestra la validez de (3) por $1\leq k\leq n$ con la ayuda de funciones de generación.
La expansión de
\begin{align*}
\color{blue}{-\frac{\log(1-z)}{(1-z)^{k+1}}}&=\left(\sum_{i=0}^\infty\binom{-k-1}{i}(-z)^i\right)\left(\sum_{l=1}^\infty\frac{1}{l}z^l\right)\tag{4}\\
&=\left(\sum_{i=0}^\infty\binom{k+i}{k}z^i\right)\left(\sum_{l=1}^\infty\frac{1}{l}z^l\right)\tag{5}\\
&=\sum_{n=1}^\infty\left(\sum_{{i+l=n}\atop{i\geq 0,l\geq1}}\binom{k+i}{k}\frac{1}{l}\right)z^n\\
&=\sum_{n=1}^\infty\left(\sum_{i=0}^{n-1}\binom{k+i}{k}\frac{1}{n-i}\right)z^n\\
&=\sum_{n=1}^\infty\left(\sum_{i=k}^{n+k-1}\binom{i}{k}\frac{1}{n-i+k}\right)z^n\tag{6}\\
&\color{blue}{=\sum_{n=k+1}^\infty\left(\sum_{i=k}^{n-1}\binom{i}{k}\frac{1}{n-i}\right)z^{n-k}}\tag{7}\\
\end{align*}
muestra $-\frac{\log(1-z)}{(1-z)^{k+1}}$ es una generación de la función de la mano izquierda (3).
Comentario:
En (4) se aplica el binomio de la serie de expansión y la logarítmica de la serie de expansión.
En (5) utilizamos el binomio identidad
\begin{align*}
\binom{-p}{q}=\binom{p+q-1}{p-1}(-1)^{q}
\end{align*}
En (6) cambio en el índice de $i$ a inicio de $i=k$.
En (7) se cambio el índice de $n$ a inicio de $n=k+1$.
Por otro lado, según la fórmula (1.2) en Riordan matrices y armónico número de identidades por W. Wang también es la generación de la función del lado derecho de (3)
\begin{align*}
\color{blue}{-\frac{\log(1-z)}{(1-z)^{k+1}}}&=\sum_{n=1}^\infty\binom{n+k}{k}(H_{n+k}-H_k)z^n\\
&=\color{blue}{\sum_{n={k+1}}^\infty\binom{n}{k}(H_n-H_k)z^{n-k}}
\end{align*}
y el reclamo de la siguiente manera.
