Es un número que cumpla estas condiciones divisible por cuarenta y nueve?

Question

Yo no soy un matemático, soy una lingüística de estudiantes de Doctorado. Como parte de mi investigación, que tengo que poner varias complicado de oraciones a través de diversas transformaciones sintácticas y ver, a continuación, compruebe si la gente piensa que es verdadera o no. Los enunciados matemáticos (bueno, algunos de ellos) satisfacer mis propósitos muy bien, porque son menos dependientes del contexto y pueden ser directamente le asigna un valor de verdad (es decir, ser considerado verdadero o falso). El problema es que yo no soy un matemático. Cuando estas frases obtener un poco complicada, tengo un poco de un problema de saber si son verdaderas o falsas a mí mismo (antes de pasar por varias transformaciones sintácticas).

Tengo una frase en particular que establece que si un número dado es:

• un entero
• divisible por 7 (lo que significa que dará como resultado un número entero si se divide por 7)
• un número cuadrado

entonces es divisible por 49. Yo intuitivamente creo que esto sea correcto (aunque no puedo explicar por qué). Es esto realmente cierto? Yo no quiero perder tiempo para todo el mundo, comenzando con una falsa sin transformar frase.

Answer 1

Puede obtener esta bastante directamente desde Euclides del Lexema, que dice que si un producto $a \cdot b$ es divisible por los primos $p$, entonces cualquiera de las $a$ o $b$ (o ambos) es divisible por $p$.

Por eso, $n^2$ divisble por 7 medios de $n \cdot n$ divisible por 7, el cual (por Euclides del Lema) significa $n$ divisible por 7 y por lo tanto $n^2$ divisible por 49.

Por supuesto que llevó incluso Euclides un poco de trabajo para probar el Lema

Answer 2

Sí.

Para ver esto, llame al número de $x$ y supongamos que $x$ es el cuadrado de un número $y$. Supongamos que $y$ tiene una factorización prima

$$y = p_1^{n_1}p_2^{n_2}\cdots p_K^{n_K}$$

donde cada una de las $n_k>0$$p_1<p_2<\cdots < p_K$. (En otras palabras, estamos mostrando la factorización en primos de la forma más compacta posible, y "en orden".)

Desde $x = y^2$, tenemos

$$x = (p_1^{n_1}p_2^{n_2}\cdots p_K^{n_K})^2 = p_1^{2n_1}p_2^{2n_2}\cdots p_K^{2n_K}$$ Nota todos los poderes $2n_1,2n_2,\ldots,2n_K$ son incluso; y desde $7$ divide $x$, uno de los principales factores de $p_i$ debe $7$.

Pero, a continuación, $2n_i$ es un número mayor que cero, por lo que es, al menos,$2$. Por lo tanto, hay al menos dos factores de $7$$x$, lo $49$ divide $x$.

Answer 3

Sí, es cierto. Se basa en el hecho de que $7$ es un número primo.

En general, si $n$ es un número entero que es divisible por los números primos $p$ $n$ es un cuadrado, entonces $n$ es divisible por $p^2$.

Esto se desprende de la Teorema Fundamental de la aritmética.

Answer 4

Sí. La razón es que la única manera de que un número cuadrado puede ser divisible por $7$ es si su raíz cuadrada es divisible por $7$. Por lo que su número es el resultado de cuadrar un múltiplo de $7$, y cuando usted hace esto, usted obtiene un múltiplo de $49$.

Answer 5

Esto es cierto. Que nos llame a su número de $n$. El número de $n$ que se supone será el cuadrado de algún número, decir $a$, lo $n=a^2$. Ahora desde $a^2$ es divisible por $7$ $7$ es primo, $a$ tiene que ser divisible por $7$. (Siempre es cierto que si un número primo que divide a un producto, tiene que dividir uno de los factores). Pero si $a$ es divisible por $7$, $a^2$ es divisible por $7^2=49$.