Un primo repituno es un repituno que también es un número primo.

Question

$127$ tiene una propiedad interesante: Es el $31$st número primo y su rango ($31$) es también un primo. $31$ $11$th prime por lo que su rango es también una excelente. $11$ es también un número primo con un rango de ( $5$ ), que también es un primo. $5$ es el 3er número primo y por lo que su rango ($3$) es también un primo. Y, finalmente, $3$ $2$nd prime por lo que su rango es también una excelente... Hay un nombre para los números primos cuyo rango (índice en el primer de la serie) es también una excelente? Que es:

Si $a_i$ $i$th el primer número, a continuación, $i$ es un también un primo.

Cómo acerca de los números como $127$ donde ir abajo de los rangos de filas siempre producir números primos (hasta el rango de $2$ del curso)? El primer $11$ :-) de los números primos en este (infinito) de la serie sería:

$3, 5, 11, 31, 127, 709, 5381, 52711, 648391, 9737333, 174440041, \dotsc$

Muchas gracias!

Answer 1

Esta secuencia es bien conocido en OEIS, es decir, la secuencia de A007097, donde uno puede encontrar una gran cantidad de información y referencias: $$ 1, 2, 3, 5, 11, 31, 127, 709, 5381, 52711, 648391, 9737333, 174440041, 3657500101, 88362852307, 2428095424619, 75063692618249, 2586559730396077, 98552043847093519, 4123221751654370051, 188272405179937051081, 9332039515881088707361, 499720579610303128776791, 28785866289100396890228041$$ El nombre es "Primeth recurrencia": $a(n+1) = a(n)$-ésimo primo.

Answer 2

Sloane del OEIS simplemente les llama "prime-indexado de los números primos."

Algunos de los más comunes en la notación sería $p_i$ $i$th prime. Luego tenemos a la primer función de recuento $\pi(p_i) = i$ (esta función está definida para todos los números positivos).

El uso de estas anotaciones, se puede escribir la secuencia de $$1, p_1, p_{p_1}, p_{p_{p_1}}, p_{p_{p_{p_1}}}, \ldots$$

Este es Wilson primeth recurrencia.

Aunque tanto la secuencia de prime-indexado de los números primos y Wilson primeth recurrencia son infinitas secuencias, la primera puede decirse que es menos "exclusiva" que la segunda. Si repetimos la función de $f(n) = p_{\pi(n)}$, vamos a encontrar que todos los prime-indexado de los números primos, finalmente, llegar a un nonprime, sino solo los de Wilson primeth recurrencia llegar a $1$ sin ningún tipo de compuesto de números a lo largo del camino.