La pista lo dice todo. En primer lugar, observe que $1, x,x^2$ son integrales en su campo. Satisfacen $t-1=0,\, t^3-2=0,\, t^3-4=0$ que son polinomios integrales mónicos. También son un $\Bbb Q$ -para el campo numérico, así que si tenemos una base integral, $\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2$ para $K$ , entonces sabes que hay una matriz entera, $M$ para que $M\alpha_i=x^i$ .
El discriminante de esta nueva base es simplemente
$$\operatorname{disc}(1,x,x^2)=(\det M)^2\cdot \operatorname{disc}(\alpha_0,\alpha_i,\alpha_2).$$
y como $\det M\in\Bbb Z$ tenemos que
$$|\operatorname{disc}(1,x,x^2)|\ge |\operatorname{disc}(\alpha_0,\alpha_i,\alpha_2)|=\Delta_K.$$
El discriminante de $\{1,x,x^2\}$ se calcula fácilmente como el determinante
$$\operatorname{disc}(1,x,x^2)=\det(\operatorname{Tr}(x^{i-1}x^{j-1}))=\begin{vmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \\ 0 & 6 & 0\end{vmatrix}=-108.$$
Muy bien, el trabajo duro ha terminado, ahora la estimación de Minkowski. Como $\Bbb Q(\sqrt[3]{2})$ se ve fácilmente que tiene $r_1=1, r_2=1, n=3$ calculamos que todos los ideales, $\mathfrak{b}$ poseer un representante, $\xi$ de límite de la norma
$$N(\xi)\le \left({4\over\pi}\right)\left({6\over 27}\right)\sqrt{108}\approx 2.94.$$
Esto significa que los únicos ideales posibles que no podrían ser principales son los de norma menor o igual a $2$ . Pero ya sabemos que $(2)=(\sqrt[3]{2})^3$ está totalmente ramificado, por lo que $(\sqrt[3]{2})$ es el único ideal por encima de $2$ en $K$ y que $(\sqrt[3]{2})$ es de norma $2$ y es principal. Por lo tanto, todos los ideales de $K$ son principales.
