Puede localmente ".e. la constante" función conectado a un subconjunto $U$ $\mathbb{R}^n$ ser una constante.e. en $U$?

Question

Considere la posibilidad de un no-vacío conectado abrir subconjunto $U$$\mathbb{R}^n$. Supongamos que una función medible $u:U\to\mathbb{R}$ es localmente constante en $U$, entonces debe de ser constante en $U$, de acuerdo a esta pregunta.

Aquí está mi pregunta:

¿Qué pasa si uno de los cambios "localmente constante" a "local.e. la constante"? Más precisamente, asumir que por cada $x\in U$ hay un abrir vecindario $V$ $x$ $U$ tal que $u$ es constante a.e. en $V$. Se puede concluir que $u$ es constante en $U$.e.?

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[Motivación] Esta pregunta es principalmente una rigurosa último paso en la prueba de este problema.

Answer 1

$\mathbb{R}^n$ es segundo contable, por lo tanto todos sus subespacios son también de los de segunda contables, y por lo tanto Lindelöf espacios. Por supuesto, podemos cubrir la $U$ con abrir conjuntos tales que a $u$ es una.e. constante en cada uno de estos conjuntos. Deje $\{ V_n : n \in \mathbb{N}\}$ ser una contables subcover, y para $n \in \mathbb{N}$ deje $N_n$ ser un null conjunto tal que $u$ es constante en $V_n \setminus N_n$. Deje $N = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} N_n$. A continuación, $N$ es un conjunto null, e $u$ es constante en $U \setminus N$. Para ver el último, dejamos $c_n$ ser el valor de $u$ toma en $V_n \setminus N_n$. Si $V_n \cap V_k \neq \varnothing$, $(V_n \setminus N_n) \cap (V_k \setminus N_k) \neq \varnothing$ (tiene medida positiva), de donde $c_k = c_n$. Vamos

$$W_m = \bigcup \{ V_n : c_n = c_m\}.$$

A continuación, cada una de las $W_m$ está abierto, y cualquiera de las $W_m = W_k$ o $W_m \cap W_k = \varnothing$. Por la conexión de la $U$, se deduce que el $W_{43} = U$.