Generalizar $0^\#$

Question

Antecedentes y motivación: El siguiente teorema se debe a la Plata:

Si existe un cardinal de Ramsey a continuación:

1. Para cada $\aleph_0 < \kappa < \lambda$, $L_{\kappa}$ es un elemental submodel de $L_\lambda$ .

2.No hay una única cerrado sin límites de clase $I$ tal que para cada cardenal $\kappa > \aleph_{0}$: $\kappa$ pertenece a $I$, $I$ ha $\kappa$ miembros $\kappa$, generan $L_\kappa$ y son indiscernibles en $L_\kappa$.

Ahora, por elementarity y la reflexión combinado con (1), para cada $\kappa > \aleph_0$, $L_\kappa$ es un elemental submodel de $L$. Definir $0^\#$ como el conjunto de fórmulas de $\phi$ tal que $L_{\aleph_{\omega}}$ satisface $\phi(\aleph_1,...,\aleph_n)$, luego por indiscernibility (es decir, por (2)), $0^\#$ es el conjunto de fórmulas satisfecho en $L$ por el aumento de las secuencias de $I$.

Problema: me gustaría generalizar la definición de $0^\#$ arbitraria de conjuntos de los números ordinales. Así que vamos a $A$ ser un conjunto de ordinales.

Mi enfoque ingenuo: el Cambio de los dos supuestos anteriores mediante la sustitución de cada aspecto de $\aleph_0$ por encima de por $\sup A$ y teniendo en cuenta las estructuras de la forma $L_\kappa[A]$ con el adicional de la relación $A$. La repetición de los mismos argumentos como el anterior, para $\lambda$ ser el primer cardenal por encima de $\sup A$, se obtiene el conjunto de las fórmulas de $\phi$ tal que $\phi(\lambda^+, \lambda^{+2},...,\lambda^{+n}$) está satisfecho en $L_{\lambda^{+\omega}}[A]$ (el strucure se considera con el adicional de un lugar de relación) como candidato a $A^\#$.

Preguntas: Mis preguntas son sobre el siguiente trabajo de Mitchell: http://www.math.ufl.edu/~wjm/papers/principio.pdf

Al final de la página 13, se da de una manera totalmente diferente de la definición de $A^\#$, más en particular, se prescinde de la mayoría de los supuestos, que son análogos a (1)+(2) anteriormente.

Pregunta 1: Es mi definición de $A^\#$ defectuoso? por qué?

Pregunta 2: ¿Cuál es la justificación del abandono de la mayoría de los supuestos anteriores? Aun así, podemos representar a $A^\#$ como un conjunto de fórmulas satisfecho por $I$-secuencias en algunos $L_\kappa[A]$?

Answer 1

No estoy seguro de que Mitchell realmente prescinde de la hipótesis análogas a la de su (1) y (2). La frase que comienza en la página 13 y termina en la página 14 contiene la suposición de que $J$ es un cerrado clase adecuada de los indiscernibles para $L[A]$. Sospecho que esto implica (con algunos no trivial de trabajo) la mayoría si no todos de los análogos de (1) y (2). Además, tengo la sospecha de que Mitchell tiene en mente una metatheory que le permite hablar acerca de la verdad en la correcta clase de modelos, en lugar de utilizar circunlocuciones sobre la reflexión.

Para empezar a trabajar en la extracción de los análogos de (1) y (2) de Michell hipótesis, me gustaría notar que el mínimo de $J$ debe estar por encima de la supremum de $A$. Entonces, en la estructura de la $(L[A],\in)$, de forma que el Skolem casco de la unión de $J$ y el supremum de $A$. El colapso transitivo de este Skolem casco no mover los elementos de $A$, y de ello se sigue que el colapso transitivo es $L[A]$ sí. Mientras tanto, $J$ se ha desplomado hasta un mucho mejor clase de $I$ de los indiscernibles (la satisfacción de las mismas fórmulas como $J$$L[A]$). En particular, esperamos que la $I$ a ser todavía un club en el Ord (como $J$), para contener todos los cardenales $\kappa>\sup(A)$, para tener $\kappa$ elementos por debajo de un $\kappa$, y en general se comportan de la manera que se describe en (1) y (2).