No sé cómo probar que la siguiente desigualdad se cumple (bajo la condición de $a+b+c=0$): $$\frac{(2a+1)^2}{2a^2+1}+\frac{(2b+1)^2}{2b^2+1}+\frac{(2c+1)^2}{2c^2+1}\geqq 3$$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Este me hizo luchar por lo que mucho de lo que estaba a punto de volverse loco. Por lo tanto, me permito publicar mi solución para tener un alivio de esta carga..
En primer lugar tenemos a$$2a^2=\frac43a^2+\frac23a^2=\frac43a^2+\frac23(b+c)^2\leq \frac43(a^2+b^2+c^2);$$, donde la última desigualdad se sigue de la aritmética-media cuadrática.
De forma análoga $$\begin{split}2b^2&\leq \frac43 (a^2+b^2+c^2),\\ 2c^2&\leq \frac43(a^2+b^2+c^2).\end{split}$$ It follows that $$\sum_\text{cyc}\frac{(2a+1)^2}{2a^2+1}\geq3\sum_\text{cyc}\frac{(2a+1)^2}{4(a^2+b^2+c^2)+3}=3\left(1+\frac{4(a+b+c)}{4(a^2+b^2+c^2)+3}\right)=3.$$
Andreas Bilger
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La siguiente prueba, como lo es, sólo funciona para $a,b,c \not\in (-2,0)$.
Deje $|a| \geq |b| \geq |c|$ $$ \frac{(2x+1)^2}{2x^2+1} = 1 + \frac{2x^2+4x}{2x^2+1} $$
Luego de ello se sigue que
$$ \text{izquierda} = 3 + \frac{2a^2+4a}{2a^2+1} + \frac{2b^2+4b}{2b^2+1} + \frac{2c^2+4c}{2c^2+1} \geq 3 + \frac{2(a^2+b^2+c^2)+4(a+b+c)}{2a^2+1} = $$
$$ = 3 + \frac{2(a^2+b^2+c^2)}{2a^2+1} \geq 3 $$
Ahora en la segunda desigualdad supuse que para $x\in\{a,b,c\}$ que $0 \leq 2x^2+4x = 2(x^2+2x) = 2x(x+2)$. Como la parábola definida por $2x(x+2)$ sólo es negativo entre -2 y 0, exclusivo, podemos hacerlo savely si ninguno de $a,b,c$ están en el intervalo de $(-2,0)$.
Como $2a^2+1\geq 2b^2+1$ $2a^2 +1 \geq 2c^2+1$ obtenemos multiplicando con $\frac{2b^2+1}{2a^2+1} \leq 1$ $\frac {2c^2+1}{2a^2+1} \leq 1$ que
$$\frac{2b^2+4b}{2b^2+1} \geq \frac{2b^2+4b}{2b^2+1}\cdot\frac{2b^2+1}{2a^2+1}=\frac{2b^2+4b}{2a^2+1}$$ etc.
La reducción a un común denominador y la aplicación de $a+b+c=0$ obtenemos la desigualdad.
