Un fortalecimiento del sistema delta lema

Question

Me gustaría saber si un fortalecimiento del sistema delta lema es verdad.

Supongamos $\kappa$ es un infinito cardenal con $\kappa^{< \kappa} = \kappa$ (por lo $\kappa$ es regular). Supongamos $S \subseteq \kappa^{+}$ es estacionaria. Deje $\langle A_{\alpha} : \alpha \in S \rangle$ ser tal que cada una de las $A_{\alpha}$ es un subconjunto de a $\kappa^{+}$ de cardinalidad menor que $\kappa$. Entonces sé que (de Kunen del libro) que hay algo de $W \subseteq S$ de cardinalidad $\kappa^{+}$ tal que $\langle A_{\alpha} : \alpha \in W \rangle$ de las formas de un sistema delta.

Mi pregunta es: ¿existe algún $W \subseteq S$, $\textbf{stationary}$ en $\kappa^{+}$ tal que $\langle A_{\alpha} : \alpha \in W \rangle$ forma un delta sistema?

Suponiendo que el anterior si es false, también me gustaría saber si se puede hacer esto en el caso de que si cada miembro de $S$ ha cofinality $\lambda$ fijos $\lambda < \kappa$.

Gracias!

Answer 1

Deje $S = S^{\kappa^{+}}_{< \kappa} = \{\delta < \kappa^{+} : cf(\delta) < \kappa\}$. Para $\delta \in S$, vamos a $A_{\delta}$ ser un club en $\delta$ de tipo de orden $cf(\delta)$ (por lo $|A_{\delta}| < \kappa$). Entonces por Fodor, lema, para cada estacionario $W \subseteq S$, $\langle A_{\delta} : \delta \in W \rangle$ no es un sistema delta.

Sin embargo, si $S \subseteq S^{\kappa^{+}}_{\kappa} = \{\delta < \kappa^{+} : cf(\delta) = \kappa\}$ es estacionaria, esto es cierto por Fodor lema.