Medida de que no se pueden medir conjunto es cero

Question

Estoy trabajando en un problema de Richard Bass' de análisis, que a un slowpoke es sólo una enredos de la relación de términos:

Supongamos que establezca $N$ es que no se pueden medir como se define en la Sección 4.4. Mostrar que $m(A) = 0$ si $A \subset N$ donde $A$ es Lebesgue medible.
(Sección 4.4 tiene este teorema: Vamos a $m^*$ ser definido por la costumbre exterior de la definición del indicador, donde $\mathcal C$ es la colección de intervalos en que se abra a la izquierda y cerrado por la derecha y $\mathscr l ((a, b]) = b - a$. A continuación, $m^*$ no es una medida en la colección de todos los subconjuntos de a $\mathbb R$.)

Aquí está lo que he conseguido salvar del desastre antes de que mi mente va a la huelga:
(1) $N$ es que no se pueden medir por la Sección 4.4, que dice que todos los subconjuntos de a $\mathbb R$ es no medible, a continuación, $N \subset \mathbb R.$
(2) Desde $A \subset N$, ¿no es $A \subset \mathbb R$ así?
(3) Dado que el $A$ es Lebesgue medible, entonces

$$\forall B \subseteq \mathbb R, \ m(B) = m(B \cap A) + m(B \cap A^c).$$

Por favor, hágamelo saber cómo y dónde debe ir de aquí. Gracias por su tiempo y esfuerzo.

Answer 1

La declaración es para un determinado $N$ construido en ese libro.

Las propiedades que necesita para el uso de $N$ es que su racional de traducciones $N+r$ son distintos y que $\bigcup_{r\in\mathbb{Q}\cap[0,1]}(N+r)\subset[-1,2]$.

Suponga que $A\subset N$ es medible.

Esto implica que $A+r$ son distintos para $r\in\mathbb{Q}\cap[0,1]$. Así $$3\geq m([-1,2])\geq m(\bigcup_{r\in\mathbb{Q}\cap[0,1]}(A+r))=\sum_{r\in\mathbb{Q}\cap[0,1]}m(A+r)=\sum_{r\in\mathbb{Q}\cap[0,1]}m(A)$$

Esto sólo puede suceder si $m(A)=0$.

Aviso esto es igual a la mitad de la prueba del teorema 4.15. La única diferencia es que desde $A$ no $N$ no tenemos la inclusión $\bigcup_{r\in\mathbb{Q}\cap[0,1]}(A+r)\supset[0,1]$ y por lo tanto no hay desigualdad $\geq1$ desde debajo de la prevención de la $m(A)=0$.