En los libros, se suele decir que esto es una consecuencia del hecho de que el transporte paralelo conserva el producto escalar. Cómo ?
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Este es un axioma, no un resultado. Cuando la definición de la derivada covariante, nos elige para que obedecer a un número de propiedades. Carroll espacio-Tiempo y la Geometría resume estas bien-mira en el preprint para el Capítulo 3 aquí.
Por supuesto queremos $\nabla$ a actuar de forma lineal en su argumento y a obedecer la regla del producto. Exigimos también que conmuta con las contracciones y que se reduce a la conocida derivada parcial en escalares. Nadie realmente debates de estas propiedades, pero como resulta que no de forma exclusiva definir un derivado. Para que se agregue en las propiedades de ser de torsiones y métrica compatible. Resumiendo Carroll, tenemos \begin{align} \nabla(T + S) & = \nabla T + \nabla S && \text{(linearity)} \\ \nabla(T \otimes S) & = (\nabla T) \otimes S + T \otimes \nabla S && \text{(product rule)} \\ \nabla_\mu ({T^\lambda}_{\lambda\rho}) & = {{(\nabla T)_\mu}^\lambda}_{\lambda\rho} && \text{(example of commuting with contractions)} \\ \nabla_\mu \phi & = \partial_\mu \phi && \text{(reduction to partial derivative)} \\ \Gamma^\lambda_{\mu\nu} & = \Gamma^\lambda_{\nu\mu} && \text{(torsion-free connection)} \\ \nabla_\rho g_{\mu\nu} & = 0 && \text{(metric compatibility).} \end{align}
Usted puede tener covariante derivados que no son de métrica compatible. Esto sólo significa que el diferencial de la estructura del espacio-tiempo proporcionado por el derivado no juega muy bien con la estructura inducida por la métrica, y tales construcciones llegar a ser no muy útil para la relatividad general.
Cuando las personas se "derivan" métrica de compatibilidad de transporte paralelo, se está tomando como un axioma, "transporte paralelo [que sólo depende de la derivada covariante] es compatible con el interior de los productos [que solo depende de la métrica]." Es el mismo que acaba de decir $\nabla_\rho g_{\mu\nu} = 0$, pero más complicado. Mejor sería asumir $\nabla_\rho g_{\mu\nu} = 0$ desde el inicio y demostrar que esto significa transporte paralelo conserva interior de los productos.
Chris Kobrzak
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Como una manera de considerar el transporte paralelo de dos vectores $p^\mu$ $q^\nu$ a lo largo de la misma curva de $C$ que el mismo ángulo entre los dos, $$ \cos\phi=\frac{p^\alpha q_\alpha}{\sqrt{p^\beta q_\beta}\sqrt{p^\gamma q_\gamma}} $$ se conserva. Transporte paralelo nos dice que para que un general de vectores $f^\alpha$, $$ \frac{Df^\alpha}{D\tau}={f^\alpha}_{\,;\gamma}\dot{x}^\gamma=0 $$ Por lo tanto, tenemos $Dp^\alpha/D\tau=Dq^\alpha/D\tau=0$ y para preservar el ángulo, se requiere que $$ \dot{x}^\gamma\left(g_{\alpha\beta}p^\alpha q^\beta\right)_{;\gamma}=0\etiqueta{1} $$ La expansión de la derivada covariante, $$ \dot{x}^\gamma\left(g_{\alpha\beta;\gamma}\,p^\alpha\,q^\beta+g_{\alpha\beta}\,p^\alpha_{\,\,;\gamma}\,q^\beta+g_{\alpha\beta}\,p^\alpha\,q^\beta_{\,\,;\gamma}\right)=0 $$ Por definición, los dos últimos términos son cero (son paralelos transportados), por lo que debemos tener $$ g_{\alpha\beta;\gamma}=0 $$ para (1) para ser verdad.
Fra
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Un físico derivación de ese resultado puede ser proporcionada en el marco de la relatividad general, utilizando el principio de equivalencia y el principio general de la covarianza. El principio general de la covarianza nos dice que si un físico reult es válida en un marco de referencia, entonces debe ser válido en cualquier otro marco de referencia. Por otro lado, el principio de equivalencia nos dice que en cada punto del espacio-tiempo existe un local marco inercial de forma tal que: $$g_{\mu\nu}\rightarrow\eta_{\mu\nu}$$ where $\eta$ es la métrica de minkowski. Ahora desde $\eta$ es costant, si nos aplicamos $$\nabla_\nu\eta^{\mu\nu}=0$$ and since that result must hold in every frame of reference we have that $$\nabla \cdot g =0$$ que es una forma intuitiva de pensar de ese resultado.
