Si me conozco todos los distintos factorizations de un número, ¿cómo puedo utilizar para calcular la factorización única de la ideal?

Question

Por ejemplo, en $\textbf{Z}[\sqrt{10}]$, tenemos $$6 = 2 \times 3 = (4 - \sqrt{10})(4 + \sqrt{10})$$ and $$10 = 2 \times 5 = (\sqrt{10})^2.$$ How do I use this knowledge to figure out the factorizations of $\langle 6 \rangle$ and $\langle 10 \rangle$? O es que hay algo más que deba saber antes de ser capaz de factorizar esos ideales?

Soy consciente de $(-1)(2 - \sqrt{10})(2 + \sqrt{10})$, pero también soy consciente de que no es distinto de los otros factores que se enumeran más arriba (la multiplicación por la unidad). Pero es que el resto de la factorización de alguna manera más "fundamentales"? Tendría que hacerme más rápido a la factorización de $\langle 6 \rangle$?

Answer 1

Eso no es por lo general el más útil a menos que sepa que el elemento tiene la primera norma, ya que la única factorización de números no se mantienen en general.

En general, usted vistazo a las normas, a continuación, tratar de encontrar los ideales por encima de un determinado ideal. En el caso de $(10)$, sabemos que el disciminant del campo es $40$ $5$ $2$ ramifican, y dado que el grado de la extensión es $2$ esto quiere decir $5$ $2$ cada uno son totalmente ramificado. Esto significa

$$(10)=\mathfrak{p}^2\mathfrak{q}^2$$

donde $\mathfrak{p}^2=(2)$ $\mathfrak{q}^2=(5)$ es la única factorización de $(2)$$(5)$. Desde $(\sqrt{10})^2=(10)$ $N(\sqrt{10})=10$ vemos que $(\sqrt{10})=\mathfrak{p}\mathfrak{q}$. Así

$$\begin{cases}\mathfrak{p}=(2,\sqrt{10})\\ \mathfrak{q}=(5,\sqrt{10})\end{cases}.$$

Para $(6)=(2)(3)$ ya sabemos $(2)=\mathfrak{p}^2$, por lo que dirigimos nuestra atención a $(3)$. La reducción de la $x^2-10$ mod $3$ obtenemos $(x+1)(x-1)$ $(3)=(3, 1+\sqrt{10})(3,1-\sqrt{10})$ es la factorización de $(3)$, que luego le da la factorización de $(6)$.