¿Por qué el teorema de la descomposición es asombroso?

Question

Vi la declaración del teorema de la descomposición de las gavillas perversas hace algún tiempo. Sé que (modulo la mayoría de los detalles) implica algunos grandes teoremas en la geometría algebraica y da nuevas pruebas para los resultados clásicos importantes. Incluso vi a gente diciendo que es el "teorema más profundo de la geometría algebraica".

Pero, ¿por qué? ¿Por qué es tan asombroso?

Cualquier respuesta o comentario que me ayude a apreciar este teorema será apreciado. Gracias.

Answer 1

Mi respuesta es quizás más para alabar la gloria de las gavillas perversas que el teorema de descomposición exactamente, pero tened paciencia conmigo. Para apreciar el teorema, yo diría que primero hay que tener una idea de lo que dice la teoría de Hodge para variedades algebraicas proyectivas lisas: Lefschetz duro, etc. (ya el hecho de que las pruebas que probablemente veas implican formas armónicas y análisis debería convencerte de que esto es algo serio). A continuación, intente comprender lo que significa entender este teorema en familias, donde empiezan a aparecer cosas como las filtraciones de Hodge.

Finalmente desespera lo que podría significar siquiera considerar esta imagen si la "familia" que se estaba viendo era sólo un morfismo proyectivo $f\colon Y \to X$ , donde $Y$ es suave: los sistemas locales que se necesitan para la versión familiar de la teoría de Hodge se rompen. Sin embargo, introduzca gavillas perversas, como una especie de sistemas locales singulares, y el teorema de descomposición dice que todo el cuadro se salva milagrosamente. Visto de este modo, creo que se obtiene un sentido adecuado de lo asombroso que es realmente el teorema (y el descubrimiento de las láminas perversas).

P.D. Esta respuesta es un pobre intento de transmitir lo que otros me han dicho: un mejor intento se hace en El artículo de Cataldo y Migliorini

Answer 2

El artículo publicado en el comentario es bastante completo y bonito.

La razón inmediata por la que este teorema es útil para mi investigación es la demostración de la conjetura Kazhdan-Lusztig. En concreto, utilizando la realización de representaciones de álgebras de Lie reductoras como módulos sobre tramas (retorcidas) de operadores diferenciales en una variedad flag $G/B$ . La conjetura de Kazhdan-Lusztig establece una correspondencia entre las representaciones de un grupo algebraico $G$ a la estructura algebraica-geométrica de las variedades flag generalizadas $G/B$ . En particular, da la relación entre los caracteres de los módulos de Verma de las álgebras de Lie y la cohomología de intersección en las variedades de Schubert.